1．（本題滿分14分，第（1）題6分，第（2）題8分）
如圖：圓錐的頂點是s，底面中心為o。oc是與底面直徑ab垂直的一條半徑，d是母線sc的中點。
（1）求證：bc與sa不可能垂直；
（2）設圓錐的高為4，異面直線ad與bc所成角為，求圓錐的體積。
．（本題共2小題，其中第1小題6分，第2小題8分，滿分14分）
解：（1）
證法一：反證法：若，連ac，由ab是直徑
則，所以平面 2分
則 3分
又圓錐的母線長相等，是等腰三角形sbc的底角，
則是銳角 4分
與矛盾，所以與sa不垂直 6分
證法二：建立如圖座標系，設圓錐的高為，底面
半徑為，則
， 3分
5分所以與sa不垂直 6分
（2）建立如圖座標系，設底面半徑為，由高為4。則，則，
8分10分由ad與bc所成角為，所以，解得 12分
所以 14分
2．（本題滿分14分，第（1）題6分，第（2）題8分）
如圖，圓與軸的正半軸交於點b，p是圓上的動點，p點在軸上的投影是d，點m滿足。
（1）求動點m的軌跡c的方程，並說明軌跡是什麼圖形。
（2）過點b的直線與m點的軌跡c交於不同的兩點e、f，若，求直線的方程。
．（本題共2小題，其中第一小題6分，第二小題8分，滿分14分）
解：（1）
設，則題意軸且m是dp的中點，
所以 2分
又p在圓上，所以，即
，即 4分
軌跡是以與為焦點，長軸長為4的橢圓。 6分
注：只說軌跡是橢圓扣1分。
（2）方法一：當直線的斜率不存在時，，不滿足題意。 7分
設直線方程為，代入橢圓方程得：
△ 9分
設，則11分
由知e是bf中點，所以 （＊＊）
由（＊）、（＊＊）解得滿足，所以 13分
即所求直線方程為： 14分
注：解題過程中若不驗證斜率不存在或△符號時，扣1分。
方法二：設，由知e是bf中點，又，所以，因都在橢圓上，所以 9分
解得： 11分
若，則 13分
所以直線方程為： 14分
3..(16分)在直角座標平面中，δabc的兩個頂點的座標分別為，，兩動點滿足向量與共線.
(1)求的頂點的軌跡方程；
(2)若過點的直線與(1) 軌跡相交於兩點，求·的取值範圍；
解：(1)設(x，y)，∵ ++=0，∴m(，).
又||=||且向量與共線，∴n在邊ab的中垂線上，∴n(0，).
而即x2―=1.------6分
(2)設e(x1，y1)，f(x2，y2)，過點p(0，1)的直線方程為y=kx+1，代入x2―=1
得 (3―k2)x2―2kx―4=0∴δ=4k2+16(3―k2)>0，k2<4
4分而x1，x2是方程的兩根，∴x1+x2=，x1x2=.
∴·=(x1，y1―1)·(x2，y2―1)= x1x2+kx1·kx22分
即·=4(1+)
故·的取值範圍為4分
4．（本題滿分14分）如圖，二面角d—ab—e的大小為，四邊形abcd是邊長為2的正方形，ae=eb，f為ce上的點，且bf⊥平面ace.
⑴求證ae⊥平面bce；
⑵求二面角b—ac—e的大小；
⑶求點d到平面ace的距離.
解：（1）易得bc垂直平面abe，則
bf垂直平面ace，所以
所以ae垂直平面bcd。…………..4』
（2）取ac中點o，連線bo，of，易得
，再由bf垂直平面ace得，
所以角bof即為二面角b—ac—e的平面角或其
補角2』
ae垂直be，所以，則，又，所以二面角b—ac—e的大小為3』
（3）解一：易知e到平面acd的距離d就是e到ab的距離，即d=1
2』設d到平面ace的距離為h，則……...2』
可得，即d到平面ace的距離為…………………….1』
解二：因為b、d兩點關於直線ac對稱，所以bd連線中點在平面ace上，易得b、d兩點到平面ace的距離相等3』
b到平面ace的距離即bf長為，
所以d到平面ace的距離為2』
5．如圖所示，已知斜三稜柱abc-a1b1c1的各稜長均為2，側稜與底面所成角為，且側面abb1a1垂直於底面.
(1)判斷b1c與c1a是否垂直，並證明你的結論；
(2)求四稜錐b-acc1a1的體積.
5.(1)幾種常見處理方法：用空間直角座標繫解、傳統方法解、基向量解.
(2) (0.42)
6．若給定橢圓c：ax2+by2=1(a>0,b>0,ab)和點n(x0,y0)，則稱直線l：ax0x+by0y=1為橢圓c的「伴隨直線」，
(1)若n(x0,y0)在橢圓c上，判斷橢圓c與它的「伴隨直線」的位置關係(當直線與橢圓的交點個數為0個、1個、2個時，分別稱直線與橢圓相離、相切、相交)，並說明理由；
(2)命題：「若點n(x0,y0)在橢圓c的外部，則直線l與橢圓c必相交.」寫出這個命題的逆命題，判斷此逆命題的真假，說明理由；
(3)若n(x0,y0)在橢圓c的內部，過n點任意作一條直線，交橢圓c於a、b，交l於m點(異於a、b)，設，，問是否為定值？說明理由.
(1)即ax2–2ax0x+ax02=0
4a2x02–4a2x02=0
l與橢圓c相切0.34)
(2)逆命題：若直線l：ax0x+by0y=1與橢圓c相交，則點n(x0,y0)在橢圓c的外部.
是真命題。聯立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0
則△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0
∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0
∴by02+ax02>1
∴n(x0,y0)在橢圓c的外部. (0.75)
(3)同理可得此時l與橢圓相離，設m(x1,y1)，a(x,y)
則代入橢圓c：ax2+by2=1，利用m在l上，
即ax0x1+by0y1=1，整理得(ax02+by02–1) 12+ax12+by12–1=0
同理得關於2的方程，類似.
即1、2是(ax02+by02–1) 2+ax12+by12–1=0的兩根
∴1+2=0. (100%)
7．(10分)已知向量，，直線l經過定點a(0,3)且以為方向向量.又圓c的方程為.
（1）求直線l的方程；
（2）當直線l被圓c截得的弦長為時，求實數m的值.
解：（1）=（1，12分
所以，直線l的點方向式方程為，x-y=3=0. 5分
（2）又題意8分
解得m10分
8．(12分)已知定點a（0，1），b（0，-1），c（1，0），動點p滿足：
（1）求動點p的軌跡方程，並說明方程表示的曲線型別；
（2），求的取值範圍.
解：（1）設動點p（x，y），則，
由得x2+y2-1=
化簡得4分
當k=1時，方程為x=1，表示直線5分
當k1時，方程為，表示以7分
（2）當k=2時，點p的軌跡方程為，
=2=210分
所以2612分
9、（本題滿分12分）
如圖，三稜柱的底面是邊長為a的正三角形，側面是菱形且垂直於底面， ＝60°，m是的中點．
（1）求證：bmac；
（2）求二面角的正切值；
（3）求三稜錐的體積．
9、（1）略 （2）所求二面角的正切值是2 （3）
10、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分。
已知點f(1，0)，直線：x=2，設動點p到直線的距離為d，已知|pf|=d且.
（1）求動點p的軌跡方程；
（2）若=，求向量與的夾角。
10、(1)所求的點p軌跡方程為
(2)向量與的夾角為
11、（本題滿分18分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分10分。
直角梯形abcd中∠dab＝90°，ad∥bc，ab＝2，ad＝，bc＝．橢圓c以a、b為焦點且經過點d．
（1）建立適當座標系，求橢圓c的方程；
（2）（文）是否存在直線l與橢圓c交於m、n兩點，且線段mn的中點為c，若存在，求l與直線ab的夾角，若不存在，說明理由．
（理）若點e滿足，問是否存在不平行ab的直線l與橢圓c 交於m、n兩點且，若存在，求出直線l與ab夾角的範圍，若不存在，說明理由．
11、解析：（1）如圖，以ab所在直線為x軸，ab中垂線為y軸建立直角座標系， a（-1，0），b（1，0）
∴ 橢圓c的方程是：
（2）（文）存在，l與ab的夾角是． （理）l與ab的夾角的範圍是，．
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