平方根與立方根
一、知識點和方法概述
1、平方根：
（1）平方根的定義：
（2）開平方：
（3）平方根的意義：
（4）平方根的表示：
（5）求乙個數的平方根的方法：
（6）算術平方根：
注：1）算術平方根是非負數，具有非負數的性質；2）若兩數的平方根相等或互為相反數時，這兩數相等；反之，若兩非負數相等時，它們的平方根相等或互為相反數；3)平方根等於本身的數只有0，算術平方根等於本身的數有0、1.
2、立方根：
（1）立方根的定義：
（2）開立方：
（3）立方根的意義：
（4）立方根的表示：
（5）求乙個數的立方根的方法：
注：1）若兩數的立方根相等，則這兩數相等；反之，若兩數相等，則這兩數的立方根相等；2）立方根等於本身的數有0、1、-1.
3、次方根：
（1）次方根的定義：
（2）開次方：
（3）次方根的意義：
（4）次方根的表示：
（5）求乙個數的次方根的方法：
二、二次根式：
1、二次根式的定義：式子 (a≥0)叫做二次根式。
2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式；
（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數中含有4是可開得盡方的因數，又如都不是最簡二次根式，而 ， ，5 ， 都是最簡二次根式。
3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以後，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。
如 , , 就是同類二次根式，因為 =2 ， =3 ，它們與的被開方數均為2。
4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說這兩個代數式互為有理化因式。如與 ，a+ 與a- ， - 與 + ，互為有理化因式。
2、二次根式的性質：
1. (a≥0)是乙個非負數, 即 ≥0;
2.非負數的算術平方根再平方仍得這個數，即：( )2=a(a≥0)；
3.某數的平方的算術平方根等於某數的絕對值，即 =|a|=
4.非負數的積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積，即 = · （a≥0,b≥0）。
5.非負數的商的算術平方根等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根，即 = （a≥0,b>0）。
（3）二次根式的運算法則：
（4）化簡二次根式的常用方法：因式分解法、公式法、換元法、平方法、倒數法、利用非負數的性質等.
實數一、 知識結構
二、 基礎知識回顧
1．無理數的定義
叫做無理數
2．有理數與無理數的區
有理數總可以用或表示；反過來，任何或也都是有理數。而無理數是小數，有理數和無理數區別之根本是有限及無限迴圈和無限不迴圈。有理數可以化成（ ），無理數不能化成（ ）。
3.常見的無理數型別
(1) 一般的無限不迴圈小數，如：1.41421356¨···
(2) 看似迴圈而實際不迴圈的小數，如0.1010010001···(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1)。
(3) 有特定意義的數，如：π=3.14159265···
(4).開方開不盡的數。如：。
4．算術平方根。
（1） 定義：
（2） 我們規定：
（3） 性質：算術平方根具有雙重非負性：
1 被開方數a是非負數，即a≥0.
2 算術平方根本身是非負數，即≥0。
也就是說，（ ）的算術平方根是乙個正數，
0的算術平方根是（ ），
沒有算術平方根。
5．平方根
（1） 定義：
（2） 非負數a的平方根的表示方法:
（3） 性質： 乙個（ ）有兩個平方根，這兩個平方根
( )只有乙個平方根，它是( )。
( )沒有平方根。
說明：平方根有三種表示形式：± ， ，－，它們的意義分別是
：非負數a的平方根，非負數a的算術平方根，非負數a的負平方根。要特別注意：≠±。
6.平方根與算術平方根的區別與聯絡：
區別：①定義不同個數不同：
3 表示方法不同：
聯絡：①具有包含關係：
②存在條件相同：
③ 0的平方根和算術平方根都是0。
7．開方運算：
（1） 定義：
1 開平方運算：
2 開立方運算：
（2）平方與開平方式（ ）關係，故在運算結果中可以相互檢驗。
8．a2的算術平方根的性質
①當a≥0時當a<0時， =（ ）
一般的，當a<0時， =-a.
我們還知道，當a≥0時，│a│=a；當a<0時，│a│=a.
綜上所述，有
a (a≥0)
=│a│=
a (a<0)
從算術平方根的定義可得： =a (a≥0)
9．立方根
（1） 定義
（2） 數a的立方根的表示方法
（3） 互為相反數的兩個數的立方根之間的關
（4） 兩個重要的公式
10．實數
1、概念：________和________統稱為實數。
2、分類按定義
有限小數或________小數
實數_______
無限不迴圈小數
_________
正實數按大小0
負實數 3、實數的有關性質
⑴a與b互為相反數〈=〉a+b=0
⑵a與b互為倒數〈=〉ab=1
⑶任何實數的絕對值都是非負數，即≥0
⑷互為相反數的兩個數的絕對值相等, 即=
⑸正數的倒數是正數;負數的倒數是負數;零沒有倒數.
實數和數軸上的點的對應關係：
實數和數軸上的點是一一對應的關係
實數的大小比較
1． 在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
2． 正數大於零，零大於負數，正數大於一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小。
實數中的非負數及其性質
4、在實數範圍內，正數和零統稱為非負數，我們已經學過的非負數有如下三種形式
⑴任何乙個實數a的絕對值是非負數，即≥0
⑵任何乙個實數的平方是非負數，即≥0；
⑶任何乙個非負數a的算術平方根是非負數，即≥0
5、非負數有以下性質
⑴非負數有最小值零
⑵有限個非負數之和仍然是非負數
⑶幾個非負數之和等於0，則每個非負數都等於0。
二次根式的兩條運算法則
二、典型例題
一、填空題：
1、的倒數是的負的平方根；的算術平方根是立方根等於3的數是的平方根是81的四次方根是 ；
若乙個數的五次方為-32，則這個數為
2、若與是同乙個數的平方根，則
3、設為正整數，若是完全平方數，則它前面的乙個完全平方數是
4、的算術平方根的立方根的相反數是
5、已知為實數，，求
6、若為的算術平方根，為的算術平方根，則a+b的平方根為
7、若，，則（n為正整數）的值為
8、若與互為相反數，則
9、已知，則二次根式化簡後為
10、把的根號外面的因式移到根號內得
11、已知，則的值為
12、設，則的大小關係是
13、已知，則m與n的大小關係是
14、若為自然數，b為整數，且滿足，則
二、解答題：
15、已知，求的值.
16、已知：，求代數式的值.
17、已知，求的值.
18、已知，求的值.
19、先化簡，再求值：，其中，.
二次根式知識點例題詳解
二次根式 本章難點 對 a 0 是乙個非負數的理解，對等式 2 a a 0 和 a a 0 的理解及應用，對二次根式乘 除法公式的條件的正確理解 重點考點例析 考點一 二次根式有意義的條件 例1 如果代數式有意義，則x的取值範圍是 a x 3 b x 3 c x 3 d x 3 思路分析 根據二次根...
二次根式知識點 例題分析 難題拓展 測試
二次根式的知識點彙總 知識點一 二次根式的概念 形如 的式子叫做二次根式。注 在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式 多項式 分式等代數式，但必須注意 因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式 x...
二次根式知識點總結
基礎訓練 1 化簡 123 45 2.化簡 3.計算的結果是 2224 4.化簡 1 的結果是2 的結果是 34 08，黃岡 5 2 5 56 785 08，重慶 計算的結果是 a 6bc 2d 6 的倒數是 7.下列計算正確的是 a b c d 8.下列運算正確的是 a b c d 9 已知等邊三...