二次根式
【本章難點】對(a≥0)是乙個非負數的理解，對等式()2 ＝a(a≥0)和＝a(a≥0)的理解及應用，對二次根式乘、除法公式的條件的正確理解．
【重點考點例析】
考點一：二次根式有意義的條件
例1 如果代數式有意義，則x的取值範圍是（ ）
a．x≠3 b．x＜3 c．x＞3 d．x≥3
思路分析：根據二次根式的意義得出x-3≥0，根據分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可．
解：要使代數式有意義，
必須x-3＞0，
解得：x＞3．
故選c．
點評：本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件的應用，注意：分式中a≠0，二次根式中a≥0．
對應訓練
1．使代數式有意義的x的取值範圍是（ ）
a．x≥0 b．xc．x≥0且xd．一切實數
1．c1．解：由題意得：2x-1≠0，x≥0，
解得：x≥0，且x≠，
故選：c．
考點二：二次根式的性質
例2 實數a、b在軸上的位置如圖所示，且|a|＞|b|，則化簡的結果為（ ）
a．2a+b b．-2a+b c．bd．2a-b
思路分析：現根據數軸可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那麼可知a+b＜0，再結合二次根式的性質、絕對值的計算進行化簡計算即可．
解：根據數軸可知，a＜0，b＞0，
原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．
故選c．
點評：本題考查了二次根式的化簡和性質、實數與數軸，解題的關鍵是注意開方結果是非負數、以及絕對值結果的非負性．
對應訓練
2．實數a，b在數軸上的位置如圖所示，則的化簡結果為
2．-b
2．解：∵由數軸可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴=|a+b|+a
=-a-b+a
=-b，
故答案為：-b．
考點三：二次根式的混合運算
例3 ．
思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分數指數冪的性質和負整數指數冪的性質，分別化簡，進而利用有理數的混合運算法則計算即可．
解：原式=
==3．
點評：此題主要考查了二次根式的混合運算以及負整數指數冪的性質，熟練利用這些性質將各式進行化簡是解題關鍵．
對應訓練
3．計算：．
3．解：
．考點四：與二次根式有關的求值問題
例4 先化簡，再求值：，其中x=．
思路分析：先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
解：原式=，
當x=時，x+1＞0，
可知，故原式=；
點評：本題考查的是二次根式及分式的化簡求值，解答此題的關鍵是當x=時得出，此題難度不大．
對應訓練
4．計算之值為何？（ ）
a．0 b．25 c．50 d．80
4．d分析：根據平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解後開出即可．
解： ===
===2×5×8，
=80，
故選d．
點評：本題考查了平方差公式，因式分解，二次根式的運算等知識點的應用，解此題的關鍵是能選擇適當的方法進行計算，本題主要考查學生的思維能力和應變能力，題目比較好，是一道具有代表性的題目．
【聚焦中考】
1．下列運算正確的是（ ）
a． b． c．x6÷x3=x2d．（x3）2=x5
1．b．
2. 計算
2．03．計算
3．7【備考真題過關】
一、選擇題
1．要使式子有意義，則x的取值範圍是（ ）
a．x＞0 b．x≥-2 c．x≥2 d．x≤2
1．d2．計算=（ ）
a． b．5 c． d．
2．a3. 計算： =（ ）
a．3 b． c． d．
3．c．
4．已知，則有（ ）
a．5＜m＜6 b．4＜m＜5 c．-5＜m＜-4 d．-6＜m＜-5
4．a4．解： ，∵，
∴，即5＜m＜6，
故選a．
5．下列計算正確的是（ ）
a．x3+x3=x6 b．m2m3=m6c． d．
5．d6．下列等式一定成立的是（ ）
a． b． c． d．
6．b7．使式子有意義的x的取值範圍是（ ）
a． x≥﹣1 b． ﹣1≤x≤2 c． x≤2 d． ﹣1＜x＜2
考點： 二次根式有意義的條件。810360
分析： 因為二次根式的被開方數是非負數，所以x+1≥0，2﹣x≥0，據此可以求得x的取值範圍．
解答： 解：根據題意，得
，解得，﹣1≤x≤2；
故選b．
點評： 考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
8．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
a． b． c． d．
考點： 分母有理化。810360
分析： 二次根式的有理化因式就是將原式中的根號化去，即可得出答案．
解答： 解：∵×=a﹣b，
∴二次根式的有理化因式是：．故選：c．
點評： 此題主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟練利用定義得出是解題關鍵．
9．下列計算錯誤的是（ ）
a． b． c． d．
考點： 二次根式的混合運算。810360
專題： 計算題。
分析： 根據二次根式的乘法對a、b進行判斷；根據二次根式的除法對c進行判斷；根據二次根式的性質對d進行判斷．
解答： 解：a、=，所以a選項的計算正確；
b、與不是同類二次根式，不能合併，所以b選項的計算錯誤；
c、÷===2，所以c選項的計算正確；
d、==×=2，所以d選項的計算正確．
故選b．
點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先進行二次根式的乘除運算，再把二次根式化為最簡二次根式，然後進行二次根式的加減運算．
10．下列計算正確的是（ ）
a． b． c． d．
考點： 二次根式的加減法；二次根式的乘除法。810360
專題： 計算題。
分析： 根據同類二次根式才能合併可對a進行判斷；根據二次根式的乘法對b進行判斷；先把化為最簡二次根式，然後進行合併，即可對c進行判斷；根據二次根式的除法對d進行判斷．
解答： 解：a、與不能合併，所以a選項不正確；
b、×=，所以b選項不正確；
c、﹣=2=，所以c選項正確；
d、÷=2÷=2，所以d選項不正確．
故選c．
點評： 本題考查了二次根式的加減運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，然後合併同類二次根式．也考查了二次根式的乘除法．
11．下列計算或化簡正確的是（ ）
a．a2+a3=a5 b． c． d．
考點： 二次根式的加減法；算術平方根；合併同類項；分式的基本性質。810360
專題： 計算題。
分析： a、根據合併同類項的法則計算；
b、化簡成最簡二次根式即可；
c、計算的是算術平方根，不是平方根；
d、利用分式的性質計算．
解答： 解：a、a2+a3=a2+a3，此選項錯誤；
b、+3=+，此選項錯誤；
c、=3，此選項錯誤；
d、=，此選項正確．
故選d．
點評： 本題考查了合併同類項、二次根式的加減法、算術平方根、分式的性質，解題的關鍵是靈活掌握有關運算法則，並注意區分算術平方根、平方根．
12．下列計算正確的是（ ）
a． b． c． d．
考點： 二次根式的混合運算。810360
專題： 計算題。
分析： 根據二次根式的乘除法則，及二次根式的化簡結合選項即可得出答案．
解答： 解：a、=1，故本選項正確；
b、﹣≠1，故本選項錯誤；
c、=，故本選項錯誤；
d、=2，故本選項錯誤；
故選a．
點評： 此題考查了二次根式的混合運算，解答本題注意掌握二次根式的加減及乘除法則，難度一般，注意仔細運算．
二、填空題
13．當x=-4時，的值是
13．14．若是整數，則正整數n的最小值為
14．5
解：∵20n=22×5n．
∴整數n的最小值為5．
故答案是：5．
15．若二次根式有意義，則x的取值範圍是
15．x≥-1
16．當x時，二次根式有意義．
16．＞0
17．已知，若b=2-a，則b的取值範圍是
17．解：∵，
∴，解得a＞0且a＜，
∴0＜a＜，
∴，∴，
即．故答案為：．
18．計算的結果是
18．2
19．計算的結果是
19．解：原式=．
故答案為：。
20.計算
20．21．計算
21．22．使式子有意義的最小整數m是
考點： 二次根式有意義的條件。810360
專題： 常規題型。
分析： 根據被開方數大於等於0列式計算即可得解．
解答： 解：根據題意得，m﹣2≥0，
解得m≥2，
所以最小整數m是2．
故答案為：2．
點評： 本題考查二次根式有意義的條件，知識點為：二次根式的被開方數是非負數．
三、解答題
23．計算：（-1）101+（π-3）0+-．
23．解：原式=-1+1+2-（）=3-．
24．計算： +|-4|-9×3-1-20120．
24．解： +|-4|-9×3-1-20120
=+4-9×-1
=6+4-3-1
=6．25．計算：．
考點： 二次根式的混合運算。810360
專題： 計算題。
分析： 先去括號得到原式=﹣+，再根據二次根式的性質和乘法法則得到原式=2﹣+．然後合併即可．
解答： 解：原式=﹣+
=2﹣+
=2．點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先進行二次根式的乘除運算，再進行二次根式的加減運算；運用二次根式的性質和乘法法則進行運算．
26．計算：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
考點： 二次根式的混合運算；負整數指數冪。810360
專題： 計算題。
分析： 原式第一項化為最簡二次根式，第二項利用負指數公式化簡，第三項利用平方差公式化簡，合併後即可得到結果．
解答： 解：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
=2+4﹣（5﹣1）
=2+4﹣4
=2．點評： 此題考查了二次根式的混合運算，涉及的知識有：二次根式的化簡，負指數公式，以及平方差公式的運用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．
二次根式知識點與例題
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