第五講不等式(組)及應用
一、課標下複習指南
1．不等式：用不等號表示不等關係的式子，叫做不等式．
2．不等式的解和不等式的解集
(1)不等式的解：與方程類似，使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解．
(2)不等式的解集：乙個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集．它可以用最簡單的不等式表示，也可以用數軸表示．
3．解不等式：求不等式的解集的過程，叫做解不等式．
4．不等式的基本性質
性質1 不等式的兩邊加上(或減去)同乙個數(或式子)，不等號的方向不變．
性質2 不等式兩邊都乘以(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變．
性質3 不等式兩邊都乘以(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變．
不等式的其他性質：
(1)若a＞b，則b＜a；(2)若a＞b，b＞c，則a＞c；(3)若a≥b，b≥a，則a＝b；(4)若a2≤0，則a＝0．
5．一元一次不等式：類似於一元一次方程，含有乙個未知數，未知數的次數是1的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式為ax＋b＞0(a≠0)或ax＋b＜0(a≠0)．
6．一元一次不等式的解法：類似於一元一次方程的解法，但要特別注意不等式兩邊都乘以(或除以)同乙個負數時，不等號的方向改變．
7．一元一次不等式組及其解集：類似於方程組，把含有相同未知數的幾個一元一次不等式合在一起組成乙個一元一次不等式組，所有這些一元一次不等式的解集的公共部分，叫做這個不等式組的解集．
8．一元一次不等式組的解法
解一元一次不等式組的基本步驟：
(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集；
(2)利用數軸確定它們的公共部分；
(3)表示出這個不等式組的解集．
9．一元一次不等式(組)的應用：列一元一次不等式(組)解應用題與列方程(組)解應用題的步驟類似，即(1)審題，設出未知數；(2)列不等式(組)；(3)解不等式(組)；(4)結合不等式(組)的解集與未知數的限制條件確定符合題意的解或解集，並寫出答案．
10．一元一次不等式、一元一次方程和一次函式的關係：一次函式y＝kx＋b(k≠0)當函式值y＝0時，一次函式轉化為一元一次方程；當函式值y＞0或y＜0時，一次函式轉化為一元一次不等式，利用函式圖象可以確定x的取值範圍．
二、例題分析
例1 解不等式，並在數軸上表示它的解集．
例2 x取何值時，代數式的值不小於代數式的值?並求出x的最小值．
例3 解不等式組在數軸上表示它的解集，並求它的整數解．
例4 關於x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大於的解，求a的取值範圍．
例5 若關於x的不等式組的解集為x＜2，求a的取值範圍．
例6 某物流公司，要將300噸物資運往某地，現有a、b兩種型號的車可供呼叫，已知a型車每輛可裝20噸，b型車每輛可裝15噸，在每輛車不超載的條件下，把300噸物資裝運完．問：在已確定呼叫5輛a型車的前提下，至少還需呼叫b型車多少輛?
例7 為改善辦學條件，東海中學計畫購買部分a品牌電腦和b品牌課桌．第一次，用9萬元購買了a品牌電腦10臺和b品牌課桌200張；第二次，用9萬元購買了a品牌電腦12臺和b品牌課桌120張．
(1)每台a品牌電腦與每張b品牌課桌的**各是多少元?
(2)第三次購買時，銷售商對一次購買量大的客戶打折銷售．規定：一次購買a品牌電腦35臺以上(含35臺)，按九折銷售，一次購買b品牌課桌600張以上(含600張)，按八折銷售．學校準備用27萬元購買電腦和課桌，其中電腦不少於35臺，課桌不少於600張，問有幾種購買方案?
三、課標下新題展示
例8 如圖5－3，要使輸出值y大於100，則輸入的最小正整數x是______．
例9 某工廠用如圖5－4(a)所示的長方形和正方形紙板，做成如圖5－4(b)所示的
豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒．
(1)現有正方形紙板162張，長方形紙板340張．若要做兩種紙盒共100個，設做豎式紙盒x個．
①根據題意完成以下**：
②按兩種紙盒的生產個數來分，有哪幾種生產方案?
(2)若有正方形紙板162張，長方形紙板n張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完．已知290＜n＜306．則n的值是______．(寫出乙個即可)
例10 用長度相等的100根火柴擺放乙個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴桿的根數．
四、課標考試達標題
(一)選擇題
1．若a＞b，且c為有理數，則( )．
a．ac＞bc b．ac＜bc c．ac2＞bc2 d．ac2≥bc2
2．如圖5－5，a，b，c分別表示蘋果、梨、桃子的質量．若同類水果質量相等，則下列關係正確的是( )．
a．a＞c＞b b．b＞a＞cc．a＞b＞c d．c＞a＞b
3．不等式x＜3的解集在數軸上表示為( )．
4．函式中，自變數x的取值範圍在數軸上可表示為( )．
5．不等式組的解集在數軸上表示正確的是( )．
6．若關於x的不等式組有解，則k的取值範圍是( )．
a．k＜2 b．k≥2 c．k＜1 d．1≤k＜2
7．若(x－2)2＋|2x－3y－a|＝0，y是正數，則a的取值範圍是( )．
a．a＜2 b．a＜3 c．a＜4 d．a＜5
(二)填空題
8．若不等式組的解集是－1＜x＜1，則(a＋1)(b＋1)的值是______．
9．直線l1：y＝k1x＋b與直線l2：y＝k2x在同一平面直角座標系中的圖象如圖所示，
則關於x的不等式k2x＞k1x＋b的解集為______．
10．k滿足______時，方程組中的x大於1，y小於1．
(三)解答題
11．求不等式的非負整數解．
12．解不等式組並判斷是否是該不等式組的解．
13．若關於x的不等式組只有4個整數解，求a的取值範圍．
14．某商店需要購進一批電視機和洗衣機，根據市場調查，決定電視機進貨量不少於洗衣機的進貨量的一半．電視機與洗衣機的進價和售價如下表：
計畫購進電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161800元．
(1)請你幫助商店算一算有多少種進貨方案?
(不考慮除進價之外的其他費用)
(2)哪種進貨方案待商店銷售購進的電視機與洗衣機完畢後獲得利潤最多?並求出最多利潤．(利潤＝售價－進價)
15．2023年北京奧運會的比賽已經圓滿閉幕．當時某球迷打算用8000元預訂10張下表中比賽專案的門票．(下表為當時北京奧運會官方票務**公布的幾種球類決賽的門票**)
(1)若全部資金用來預訂男籃門票和桌球門票，問他可以訂男籃門票和桌球門票各多少張?
(2)若在現有資金8000元允許的範圍內和總票數不變的前提下，他想預訂下表中三種球類門票，其中男籃門票數與足球門票數相同，且桌球門票的費用不超過男籃門票的費用，求他能預訂三種球類門票各多少張?
第五講不等式性質及證明
一 課標要求 1 不等關係 通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關係，了解不等式 組 的實際背景 2 基本不等式 a,b 0 探索並了解基本不等式的證明過程 會用基本不等式解決簡單的最大 小 問題。二 命題走向 不等式歷來是高考的重點內容。對於本將來講，考察有關不等式性質的基礎知...
高三數學專題複習不等式
一 大綱解讀 從考試大綱的要求看，本專題的主要考點就是 解一元二次不等式 簡單的線性規劃 基本不等式在求最值中的應用 合情推理 主要是歸納和模擬 綜合法與分析法 反證法 數學歸納法 複數的概念和代數形式的四則運算及其集合意義。二 高考 本專題的不等式部分在高考中往往是一到兩個小題，重點考查簡單的線性...
高中數學競賽輔導第五講不等式的證明
知識 方法 技能 不等式在數學中占有重要地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下 不等式的性質 這是不等式的定義，也是比較法的依據.對乙個不等式進行變形的性質...