1. 對於函式。
（1）若在處取得極值，且的影象上每一點的切線的斜率均不超過試求實數的取值範圍；
（2）若為實數集r上的單調函式，設點p的座標為，試求出點p的軌跡所形成的圖形的面積s。
1. （1）由，則
因為處取得極值，所以的兩個根
因為的影象上每一點的切線的斜率不超過
所以恆成立，
而，其最大值為1．
故（2）當時，由在r上單調，知
當時，由在r上單調恆成立，或者恆成立．
∵，可得
從而知滿足條件的點在直角座標平面上形成的軌跡所圍成的圖形的面積為
2. 函式（）的圖象關於原點對稱，、分別為函式的極大值點和極小值點，且|ab|＝2，.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求函式的解析式；
（ⅲ）若恒成立，求實數的取值範圍.
2. （ⅰ） =0
（ⅱ）則|ab|＝2
又（ⅲ）時，求的最小值是-5
3. 已知是定義在r上的函式，其圖象交x軸於a，b，c三點，若點b的座標為（2，0），且在和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
（1）求c的值；
（2）在函式的圖象上是否存在一點m（x0，y0），使得在點m的切線斜率為3b？若存在，求出點m的座標；若不存在，說明理由；
3. ⑴ ∵在和上有相反單調性，
∴ x=0是的乙個極值點，故，
即有乙個解為x=0，∴c=0
⑵ ∵交x軸於點b（2，0）
∴令，則∵在和上有相反的單調性
∴， ∴
假設存在點m（x0，y0），使得在點m的切線斜率為3b，則
即∵ △=
又， ∴△＜0
∴不存在點m（x0，y0），使得在點m的切線斜率為
4. 已知函式
（1）求函式的最大值；
（2）當時，求證；
4. （1）
令得當時， 當時，又
當且僅當時，取得最大值0
（2）由（1）知
又5. 已知是定義在，，上的奇函式，當，時，（a為實數）．
（1）當，時，求的解析式；
（2）若，試判斷在[0，1]上的單調性，並證明你的結論；
（3）是否存在a，使得當，時，有最大值．
5. （1）設，，則，，，是奇函式，則，，；
（2），因為，，，，，即，所以在，上是單調遞增的．
（3）當時，在，上單調遞增，（不含題意，捨去），當，則，，如下表
，所以存在使在，上有最大值．
．6. 已知在r上單調遞增，記的三內角的對應邊分別為，若時，不等式恆成立．
（ⅰ）求實數的取值範圍；
（ⅱ）求角的取值範圍；
（ⅲ）求實數的取值範圍．
19. (1)由知， 在r上單調遞增， 恆成立， 且，即且， ，
當，即時，，
時，時，，即當時，能使在r上單調遞增，．
(2) ，由餘弦定理：， ，----5分
(3) 在r上單調遞增，且，所以
，---10分
故，即，，即，即
7. 已知函式
（i）當時，求函式的極小值
（ii）試討論曲線與軸的公共點的個數。
7. （i）
當或時，；當時，
在，（1，內單調遞增，在內單調遞減
故的極小值為
（ii）①若則的圖象與軸只有乙個交點。……6分
②若則，當時，，當時，
的極大值為
的極小值為的圖象與軸有三個公共點。
③若，則。
當時，，當時，
的圖象與軸只有乙個交點
④若，則的圖象與軸只有乙個交點
⑤當，由（i）知的極大值為
綜上所述，若的圖象與軸只有乙個公共點；
若，的圖象與軸有三個公共點。第二組：解析幾何
1. 已知點c（-3，0），點p在y軸上，點q在x軸的正半軸上，點m在直線pq上，且滿足
（1）當點p在y軸上運動時，求點m的軌跡c的方程；
（2）是否存在乙個點h，使得以過h點的動直線l被軌跡c截得的線段ab為直徑的圓始終過原點o。若存在，求出這個點的座標，若不存在說明理由。
6. （1）設m(x,y), p(0, t), q(s, 0)
則由得3s—t2=0
又由得把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0
∴點m的軌跡方程為：y2=4x（x≠0）
（2）如圖示，假設存在點h，滿足題意，則
設，則由可得解得又
則直線ab的方程為：
即把代入，化簡得
令y=0代入得x=4，∴動直線ab過定點（4，0）
答，存在點h（4，0），滿足題意。
2. 設為直角座標平面內x,y軸正方向上的單位向量，若向量.
(1)求點m（x,y）的軌跡c的方程；
(2)過點(0,3)作直線與曲線c 的交於a、b兩點，設，是否存在這樣的直線，使得四邊形oapb為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
2. (1)
即點m(x,y)到兩個定點f1(0,-2)、f2(0,2)的距離之和為8,
點m（x,y）的軌跡c為以f1(0,-2)、f2(0,2)為焦點的橢圓，其方程為.
(2)由題意可設直線方程為，
由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0.
此時，△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恆成立，且
由知：四邊形oapb為平行四邊形.
假設存在直線，使得四邊形oapb為矩形，則 .
因為，所以，
而，故，即.
所以，存在直線：，使得四邊形oapb為矩形.
3. 一束光線從點出發，經直線上一點反射後，恰好穿過點．
（ⅰ）求點關於直線的對稱點的座標；
（ⅱ）求以、為焦點且過點的橢圓的方程；
（ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交於、兩點，點為線段上的動點，求點到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，並求取得最小值時點的座標．
12. （ⅰ）設的座標為，則且．
解得， 因此，點的座標為．
（ⅱ），根據橢圓定義，
得，，．
∴所求橢圓方程為
（ⅲ），橢圓的準線方程為．
設點的座標為,表示點到的距離，表示點到橢圓的右準線的距離．
則，．，
令，則，
當，， ，．
∴ 在時取得最小值
因此，最小值＝，此時點的座標為．
注：的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得．
說明：求得的點即為切點，的最小值即為橢圓的離心
4. 已知橢圓的乙個焦點，對應的準線方程為，且離心率滿足，，成等比數列.
(1)求橢圓的方程；
(2)試問是否存在直線，使與橢圓交於不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的傾斜角的取值範圍；若不存在，請說明理由.
4. （1）∵成等比數列 ∴
設是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得
即為所求的橢圓方程.
（2）假設存在，因與直線相交，不可能垂直軸
因此可設的方程為：由
①方程①有兩個不等的實數根
∴ ②設兩個交點、的座標分別為 ∴
∵線段恰被直線平分 ∴
∵ ∴ ③ 把③代入②得
∵ ∴ ∴解得或
∴直線的傾斜角範圍為
5. 已知向量.
（ⅰ）求點的軌跡c的方程；
（ⅱ）設曲線c與直線相交於不同的兩點m、n，又點，當時，求實數的取值範圍。
5. 由題意得：
（ii）由得,
由於直線與橢圓有兩個不同的交點，，即 ①
（1）當時，設弦mn的中點為分別為點m、n的橫座標，則
又 ②.
將②代入①得，解得, 由②得 ,
故所求的取值範圍是
（2）當時，
6. 設直線與橢圓相交於a、b兩個不同的點，與x軸相交於點c，記o為座標原點.
（i）證明：；
（ii）若的面積取得最大值時的橢圓方程.
6. 依題意，直線l顯然不平行於座標軸，故
將，得 ①
由直線l與橢圓相交於兩個不同的點，得，即
（ii）解：設由①，得
因為，代入上式，得
於是，△oab的面積
其中，上式取等號的條件是
由將這兩組值分別代入①，均可解出
所以，△oab的面積取得最大值的橢圓方程是
7. 如圖，已知⊙：及點a，在 ⊙上任取一點a′，連aa′並作aa′的中垂線l，設l與直線a′交於點p，若點a′取遍⊙上的點.
（1）求點p的軌跡c的方程；
（2）若過點的直線與曲線交於、兩點,且,則當時,求直線的斜率的取值範圍.
7. (1) ∵l是線段a的中垂線，∴,
∴||pa|－|p||=||p|－|p||=||=.即點p在以、a為焦點，以4為焦距，以為實軸長的雙曲線上，故軌跡c的方程為.
(2)設,,則直線的方程為,則由,得
,.由,得.∴,,.
由,,,
消去,得.∵,函式在上單調遞增. ∴,，所以或.
故斜率的取值範圍為.
8. 如圖，已知⊙：及點 ，在 ⊙上任取一點′，連′，並作′的中垂線l，設l與′交於點p， 若點′取遍⊙上的點.
（1）求點p的軌跡c的方程；
（2）設直線與軌跡c相交於a、b兩個不同的點，與x軸相交於點d.若的面積取得最大值時的橢圓方程．
8. (1) ∵l是線段的中垂線，∴,
∴|pm|+|p|=|p|+|p|=||=2m.即點p在以、m為焦點，以為焦距，以為長軸長的橢圓上，故軌跡c的方程為，即.
（2）由得
將代入消去，得 ①
由直線l與橢圓相交於兩個不同的點，得
整理得，即
設由①，得.
∵而點, ∴，所以，
代入上式，得
於是，△oab的面積
其中，上式取等號的條件是即
由可得.
將及這兩組值分別代入①，均可解出
∴△oab的面積取得最大值的橢圓方程是
第三組：數列不等式
一．先求和後放縮
例1．正數數列的前項的和，滿足，試求：
（1）數列的通項公式；
（2）設，數列的前項的和為，求證：
解：（1）由已知得，時，，作差得：，所以，又因為為正數數列，所以，即是公差為2的等差數列，由，得，所以
（2），所以
注：一般先分析數列的通項公式．如果此數列的前項和能直接求和或者通過變形後求和，則採用先求和再放縮的方法來證明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比數列（這裡所謂的差比數列，即指數列滿足條件）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和．
二．先放縮再求和
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