第7章第4講
一、選擇題
1．對於空間中的兩個角∠abc與∠a1b1c1，「ab∥a1b1且bc∥b1c1」是「∠abc＝∠a1b1c1」的( )條件．
a．充分不必要 b．必要不充分
c．充要 d．既不充分也不必要
[答案] d
2．(2008·湖南理)設有直線m、n和平面α、β，下列四個命題中，正確的是( )
a．若m∥α，n∥α，則m∥n
b．若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β
c．若α⊥β，mα，則m⊥β
d．若α⊥β，m⊥β，mα，則m∥α
[答案] d
3．(2009·廣東四校)已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中的假命題是( )
a．若a∥b，則α∥β
b．若α⊥β，則a⊥b
c．若a、b相交，則α、β相交
d．若α、β相交，則a、b相交
[答案] d
4．已知直線a和平面α，那麼a∥α的乙個充分條件是( )
a．存在一條直線b，a∥b，bα
b．存在一條直線b，a⊥b，b⊥α
c．存在乙個平面β，aβ，α∥β
d．存在乙個平面β，a⊥β，α⊥β
[答案] c
5．(2007·廣東)若l、m、n是互不相同的空間直線，α、β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是( )
a．若α∥β，lα，nβ，則l∥n
b．若α⊥β，lα，則l⊥β
c．若l⊥n，m⊥n，則l∥m
d．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
[解析] a中l與n可以異面，b中l可以與β斜交，c中l與m可以異面，d中一定有α⊥β.
[答案] d
6．(2009·清遠市一模)如圖，在正三稜錐p－abc中，d，e分別為ab，bc的中點，有下列三個論斷：①ac⊥pb；②ac∥平面pde；③ab⊥平面pde.其中正確論斷的個數為( )
a．0個
b．1個
c．2個
d．3個
[解析] ①②正確，選c.
[答案] c
二、填空題
7．若平面α∥β，且直線a∥α，則a與β的位置關係為________．
[答案] a∥β或aβ
8．過三稜柱abc—a1b1c1的任意兩條稜的中點作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有________條．
[解析] 過三稜柱abc—a1b1c1任意兩條稜的中點作直線，其中與平面abb1a1平行的直線共有6條．
[答案] 6
9．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α與β外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三個論斷作為條件餘下的乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題
[答案] ①③④②
10．(2009·山東淄博)已知m、n是不同的直線，α、β是不重合的平面，給出下列命題：
①若m∥α，則m平行於平面α內的無數條直線；
②若α∥β，mα，nβ，則m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β；
④若α∥β，mα，則m∥β.
其中，真命題的序號是寫出所有真命題的序號)
[答案] ①③④
三、解答題
11．(2010·安徽，19)如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是正方形，ab＝2ef＝2，ef∥ab，ef⊥fb，∠bfc＝90°，bf＝fc，h為bc的中點．
(1)求證：fh∥平面edb；
(2)求四面體b－def的體積．
(1)[證明] 設ac與bd交於點g，則g為ac的中點．連eg，gh，由於h為bc的中點，故gh綊ab.
又ef綊ab，∴ef綊gh.
∴四邊形efhg為平行四邊形．
∴eg∥fh，而eg平面edb，
∴fh∥平面edb.
(2)[解] ∵ef⊥fb，∠bfc＝90°，∴bf⊥平面cdef.
∴bf為四面體b－def的高．
又bc＝ab＝2，∴bf＝fc＝.
vb－def＝××1××＝.
12．右圖是乙個直三稜柱(以a1b1c1為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為abc，已知a1b1＝b1c1＝1，∠a1b1c1＝90°，aa1＝4，bb1＝2，cc1＝3.
(1)設點o是ab的中點，證明：oc∥平面a1b1c1；
(2)(理)求ab與平面aa1c1c所成的角的正弦值；
(3)求此幾何體的體積．
(1)[證明] 作od∥aa1交a1b1於d，連c1d，則od∥bb1∥cc1，
因為o是ab的中點，所以od＝(aa1＋bb1)＝3＝cc1.
則odc1c是平行四邊形，因此有oc∥c1d，c1d平面c1b1a1，且oc平面c1b1a1，則oc∥面a1b1c1.
(2)[解] 如圖，過b作截面ba2c2∥面a1b1c1，
分別交aa1，cc1於a2，c2，作bh⊥a2c2於h，
因為平面a2bc2⊥平面aa1c1c，則bh⊥面aa1c1c.
連線ah，則∠bah就是ab與面aa1c1c所成的角．
因為bh＝，ab＝，
所以sin∠bah＝＝.
ab與面aa1c1c所成的角的正弦值為.
(3)[解] 因為bh＝，所以vb－aa2c2c＝saa2c2c×bh＝×(1＋2)×＝
va1b1c1－a2bc2＝s△a1b1c1×bb1＝×2＝1.
所求幾何的體積為v＝vb－aa2c2c＋va1b1c1－a2bc2＝.
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