第一章極限和連續
第一節極限
[複習考試要求]
1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。
2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。
3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關係。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。
4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
[主要知識內容]
（一）數列的極限
1.數列
定義按一定順序排列的無窮多個數
稱為無窮數列，簡稱數列，記作，數列中每乙個數稱為數列的項，第n項xn為數列的一般項或通項，例如
（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差數列）
（2）（等比數列）
（3）（遞增數列）
（4）1，0，1，0，…，…（**數列）
都是數列。它們的一般項分別為
（2n-1）,。
對於每乙個正整數n，都有乙個xn與之對應，所以說數列可看作自變數n的函式xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變數n依次取1,2,3…一切正整數時，對應的函式值就排列成數列。
在幾何上，數列可看作數軸上的乙個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,…。
2.數列的極限
定義對於數列，如果當n→∞時，xn無限地趨於乙個確定的常數a，則稱當n趨於無窮大時，數列以常數a為極限，或稱數列收斂於a，記作
比如：無限的趨向0
，無限的趨向1
否則，對於數列，如果當n→∞時，xn不是無限地趨於乙個確定的常數，稱數列沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。
比如：1，3，5，…，（2n-1），…
1，0，1，0，…
數列極限的幾何意義：將常數a及數列的項依次用數軸上的點表示，若數列以a為極限，就表示當n趨於無窮大時，點xn可以無限靠近點a，即點xn與點a之間的距離|xn-a|趨於0。
比如：無限的趨向0
無限的趨向1
（二）數列極限的性質與運算法則
1.數列極限的性質
定理1.1（惟一性）若數列收斂，則其極限值必定惟一。
定理1.2（有界性）若數列收斂，則它必定有界。
注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如：
1，0，1，0，…有界：0，1
2.數列極限的存在準則
定理1.3（兩面夾準則）若數列,,滿足以下條件：
（1），
（2）， 則
定理1.4若數列單調有界，則它必有極限。
3.數列極限的四則運算定理。
定理1.5
（1）（2）
（3）當時，
（三）函式極限的概念
1.當x→x0時函式f（x）的極限
（1）當x→x0時f（x）的極限
定義對於函式y=f（x），如果當x無限地趨於x0時，函式f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→x0時，函式f（x）的極限是a，記作
或f（x）→a（當x→x0時）
例y=f（x）=2x+1
x→1,f（x）→?
x<1x→1
x>1x→1
（2）左極限
當x→x0時f（x）的左極限
定義對於函式y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨於x0時，函式f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→x0時，函式f（x）的左極限是a，記作
或f（x0-0）=a
（3）右極限
當x→x0時，f（x）的右極限
定義對於函式y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨於x0時，函式f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→x0時，函式f（x）的右極限是a，記作
或f（x0+0）=a
例子：分段函式
，求，解：當x從0的左邊無限地趨於0時f（x）無限地趨於乙個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有
當x從0的右邊無限地趨於0時，f（x）無限地趨於乙個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有
顯然，函式的左極限右極限與函式的極限之間有以下關係：
定理1.6當x→x0時，函式f（x）的極限等於a的必要充分條件是
反之，如果左、右極限都等於a，則必有。
x→1時f(x)→?
x≠1x→1f(x)→2
對於函式，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。
2.當x→∞時，函式f（x）的極限
（1）當x→∞時，函式f（x）的極限
y=f(x)x→∞f(x)→?
y=f(x)=1+
x→∞f(x)=1+→1
定義對於函式y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→∞時，函式f（x）的極限是a，記作
或f（x）→a（當x→∞時）
（2）當x→+∞時，函式f（x）的極限
定義對於函式y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→+∞時，函式f（x）的極限是a，記作
這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。
y=f(x)x→+∞f(x)x→？
x→+∞，f(x)=2+→2
例：函式f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？
解：f（x）=2+e-x=2+，
x→+∞，f（x）=2+→2
所以（3）當x→-∞時，函式f（x）的極限
定義對於函式y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨於乙個常數a，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是a，記作
x→-∞f(x)→？
則f(x)=2+(x＜0)
x→-∞,-x→+∞
f(x)=2+→2
例：函式，當x→-∞時，f（x）→？
解：當x→-∞時，-x→+∞
→2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函式f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是a充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函式f（x）有相同的極限a。
例如函式，當x→-∞時，f（x）無限地趨於常數1，當x→+∞時，f（x）也無限地趨於同乙個常數1，因此稱當x→∞時的極限是1，記作
其幾何意義如圖3所示。
f(x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是對函式y=arctanx來講，因為有
即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。
x)=1+
y=arctanx
不存在。
但是對函式y=arctanx來講，因為有
即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。
（四）函式極限的定理
定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。
定理1.8（兩面夾定理）設函式在點的某個鄰域內（可除外）滿足條件：
（1），（2）
則有。注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。
下面我們給出函式極限的四則運算定理
定理1.9如果則
（1）（2）
（3）當時，時，
上述運算法則可推廣到有限多個函式的代數和及乘積的情形，有以下推論：
（1）（2）
（3）用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函式的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。
另外，上述極限的運算法則對於的情形也都成立。
（五）無窮小量和無窮大量
1.無窮小量（簡稱無窮小）
定義對於函式，如果自變數x在某個變化過程中，函式的極限為零，則稱在該變化過程中，為無窮小量，一般記作
常用希臘字母，…來表示無窮小量。
定理1.10函式以a為極限的必要充分條件是：
可表示為a與乙個無窮小量之和。
注意：（1）無窮小量是變數，它不是表示量的大小，而是表示變數的變化趨勢無限趨於為零。
（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，乙個很小的數，無論它多麼小也不是無窮小量。
（3）乙個變數是否為無窮小量是與自變數的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同乙個變數可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。
例如：振盪型發散
（4）越變越小的變數也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。
（5）無窮小量不是乙個常數，但數「0」是無窮小量中惟一的乙個數，這是因為。
2.無窮大量（簡稱無窮大）
定義；如果當自變數（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作。
注意：無窮大（∞）不是乙個數值，「∞」是乙個記號，絕不能寫成或。
3.無窮小量與無窮大量的關係
無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關係，見以下的定理。
定理1.11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果為無窮小量，且，則為無窮大量。
當無窮大
無窮小當為無窮小
無窮大4.無窮小量的基本性質
性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；
性質2有界函式（變數）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。
性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。
性質4無窮小量除以極限不為零的變數所得的商是無窮小量。
5.無窮小量的比較
定義設是同一變化過程中的無窮小量，即。
（1）如果則稱是比較高階的無窮小量，記作；
（2）如果則稱與為同階的無窮小量；
（3）如果則稱與為等價無窮小量，記為；
（4）如果則稱是比較低價的無窮小量。當
等價無窮小量代換定理：
如果當時，均為無窮小量，又有且存在，則。
均為無窮小
又有這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。
常用的等價無窮小量代換有：
當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;
（六）兩個重要極限
1.重要極限ⅰ
重要極限ⅰ是指下面的求極限公式
令這個公式很重要，應用它可以計算三角函式的型的極限問題。
其結構式為：
2.重要極限ⅱ
重要極限ⅱ是指下面的公式：
其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為
e=2.718281828495045……
其結構式為：
重要極限ⅰ是屬於型的未定型式，重要極限ⅱ是屬於「」型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。
（七）求極限的方法：
1.利用極限的四則運算法則求極限；
2.利用兩個重要極限求極限；
3.利用無窮小量的性質求極限；
4.利用函式的連續性求極限；
5.利用洛必達法則求未定式的極限；
專公升本複習高等數學
第一章極限和連續 第一節極限 複習考試要求 1.了解極限的概念 對極限定義等形式的描述不作要求 會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。3.理解無窮小量 無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質 無窮小量與無窮大量的關係。會...
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