習題一一、選擇題
4. 一細直杆ab,豎直靠在牆壁上,b端沿水平方向以速度滑離牆壁,則當細杆運動到圖示位置時,細桿中點c的速度
(a)大小為,方向與b端運動方向相同;
(b)大小為,方向與a端運動方向相同;
(c)大小為, 方向沿桿身方向;
(d)大小為,方向與水平方向成角。
答案:d
解:對c點有
位置:;
速度:;所以,.
(b點:)。
5. 某人以4km/h的速率向東前進時,感覺風從正北吹來,如將速率增加一倍,則感覺風從東北方向吹來。實際風速與風向為
(a) 4km/h,從北方吹來b) 4km/h,從西北方吹來;
(c) km/h,從東北方吹來; (d) km/h,從西北方吹來。
答案:d
解: ,
,(從西北方吹來)。
二、填空題
1. 一物體作如圖所示的斜拋運動,測得在軌道p點處速度大小為v,其方向與水平方向成30°角。則物體在p點的切向加速度
a軌道的曲率半徑
答案:;。
解:。又因 ,所以
3. 一質點沿半徑為r的圓周運動,運動學方程為,其中都是常數,t 時刻,質點的加速度向量加速度大小為b時,質點沿圓周執行的圈數為
答案:;。
解1),
(2) 令, 得
, 得4.火車靜止時,側窗上雨滴軌跡向前傾斜角。火車以某一速度勻速前進時,側窗上雨滴軌跡向後傾斜角,火車加快以另一速度前進時,側窗上雨滴軌跡向後傾斜角,火車加速前後的速度之比為
答案:解:設為火車靜止時觀察到的雨滴的速度,已知其傾角為(這也是雨滴相對地面的速度和傾角)。設火車以行駛時,雨滴相對火車的速度為,已知其傾角為,根據伽利略變換:
同理,火車以行駛時,雨滴相對火車的速度為,已知其傾角為,所以
(12)
(34)
聯立(1)(2)式得,
聯立(3)(4)式得,
所以,火車加速前後速度之比為
5.一質點沿半徑為0.1m的圓周運動,其用角座標表示的運動學方程為,的單位為rad,t 的單位為s。
問t = 2s時,質點的切向加速度法向加速度等於 rad時,質點的加速度和半徑的夾角為45°。
答案:;;。
解:(1),;,。
t = 2s時,,
(2)設時,和半徑夾角為45°,此時,即,得
所以三、計算題
1.一質點由靜止開始做直線運動,初始加速度為,以後加速度均勻增加,每經過秒增加,求經過t秒後質點的速度和位移。
答案:;。
由題意可知,加速度和時間的關係為
根據直線運動加速度定義
時刻, 所以
又,所以
時刻, 所以
2.一質點以初速度作一維運動,所受阻力與其速率成正比,試求當質點速率為時,質點經過的距離與質點所能行經的總距離之比。
答案:。
解:質點作一維運動。初始條件:時,,。又由題意,質點的加速度可表示為
式中,k為大於零的常數。
解法一:由加速度的定義有
分離變數
由初始條件時,有
積分得所以
由初始條件時,積分得
上式可寫為
其中,為質點所能行經的最大距離。
聯立式(1)和式(2),得
故將代入上式,得
解法二:由加速度的定義,並作變數替換有
即由初始條件時,有
積分得由上式得。故當時,
又由及式(3),有
由初始條件時,積分得
即可見,質點所能行經的最大距離為
故當時,由式(4)及上式得
4.如圖,一超音速殲擊機在高空 a 時的水平速率為1940 km/h,沿近似於圓弧的曲線俯衝到點b,其速率為2192 km/h,所經歷的時間為3s,設圓弧 ab的半徑約為3.5km,且飛機從a 到b 的俯衝過程可視為勻變速率圓周運動,若不計重力加速度的影響,求:(1)飛機在點b 的加速度;(2)飛機由點a 到點b 所經歷的路程。
答案:(1),與法向成角;(2)。
解:(1)因飛機作勻變速率運動,所以和為常量
,,已知,
,,所以
在點 b 的法向加速度
在點 b 的總加速度大小
與法向之間夾角
(2)在時間t內矢徑所轉過的角度為
飛機經過的路程為
5.如圖所示,一條寬度為d的小河,已知河水的流速隨著離開河岸的距離成正比地增加,靠兩岸邊河水的流速為零,而在河中心處流速最大,為。現有一人以不變的划船速度u沿垂直於水流方向從岸邊划船渡河,試求小船到達河心之前的運動軌跡。
答案:,即運動軌跡為拋物線。
解:以河岸為參照系,建立如圖所示的直角座標。根據題意,初始條件為時,,,。
又根據題意,當時,水流速度可表示為,
且當時,。故
即對小船有
,利用前面各式及初始條件,對上兩式分別積分,得
,聯立消去t,得
上式即為小船渡河的運動軌跡方程,為一拋物線。
注意,上式是小船划至河中心之前的軌跡方程。當時,水流速度應為
此時有,
根據前半部的計算結果知,在河心,即時,,。
以此為新的初始條件代入,積分
可解得,當時
可見小船運動軌跡仍為拋物線。
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