習題一一、選擇題
1． 質點沿軌道ab作曲線運動，速率逐漸減小，圖中哪一種情況正確地表示了質點在c處的加速度
abcd)
答案：c
解：加速度方向只能在運動軌跡內側，只有[b]、[c]符合；又由於是減速運動，所以加速度的切向分量與速度方向相反，故選（c）。
2． 一質點沿x軸運動的規律是（si制）。則前三秒內它的 [ ]
（a）位移和路程都是3mb）位移和路程都是-3m；
（c）位移是-3m，路程是3md）位移是-3m，路程是5m。
答案：d
解：，令，得。即時x取極值而返回。所以：
3． 一質點的運動方程是，r、為正常數。從t＝到t=時間內
（1）該質點的位移是
（a） -2r； （b）2r； （c） -2； （d）0。
（2）該質點經過的路程是
（a）2r； （b）； （c）0； （d）。
答案：b；b。
解：（1），；
（2）t內質點沿圓周運動了半周，故所走路程為r。或者：
， 4． 一細直杆ab，豎直靠在牆壁上，b端沿水平方向以速度滑離牆壁，則當細杆運動到圖示位置時，細桿中點c的速度
（a）大小為，方向與b端運動方向相同；
（b）大小為，方向與a端運動方向相同；
（c）大小為, 方向沿桿身方向；
（d）大小為，方向與水平方向成角。
答案：d
解：對c點有
位置：；
速度：；所以，.
（b點：）。
5． 某人以4km/h的速率向東前進時，感覺風從正北吹來，如將速率增加一倍，則感覺風從東北方向吹來。實際風速與風向為
(a) 4km/h，從北方吹來b) 4km/h，從西北方吹來；
(c) km/h，從東北方吹來； (d) km/h，從西北方吹來。
答案：d
解： ，
，（從西北方吹來）。
二、填空題
1． 一物體作如圖所示的斜拋運動，測得在軌道p點處速度大小為v，其方向與水平方向成30°角。則物體在p點的切向加速度
a軌道的曲率半徑
答案：；。
解：。又因，所以
2． 一質點在xy平面內運動，其運動學方程為，其中分別以公尺和
秒為單位，則從t = 1秒到t = 3秒質點的位移為t =2秒時質點的加速
度為質點的軌跡方程是
答案：；；。
解，消去時間t得。
3. 一質點沿半徑為r的圓周運動，運動學方程為，其中都是常數，t 時刻，質點的加速度向量加速度大小為b時，質點沿圓周執行的圈數為
答案：；。
解1），
（2） 令， 得
， 得4．火車靜止時，側窗上雨滴軌跡向前傾斜角。火車以某一速度勻速前進時，側窗上雨滴軌跡向後傾斜角，火車加快以另一速度前進時，側窗上雨滴軌跡向後傾斜角，火車加速前後的速度之比為
答案：解：設為火車靜止時觀察到的雨滴的速度，已知其傾角為（這也是雨滴相對地面的速度和傾角）。設火車以行駛時，雨滴相對火車的速度為，已知其傾角為，根據伽利略變換：
同理，火車以行駛時，雨滴相對火車的速度為，已知其傾角為，所以
(12)
(34)
聯立（1）（2）式得，
聯立（3）（4）式得，
所以，火車加速前後速度之比為
5.一質點沿半徑為0.1m的圓周運動，其用角座標表示的運動學方程為，的單位為rad，t 的單位為s。
問t = 2s時，質點的切向加速度法向加速度等於 rad時，質點的加速度和半徑的夾角為45°。
答案：；；。
解：（1），；，。
t = 2s時，，
（2）設時，和半徑夾角為45°，此時，即，得
所以三、計算題
1．一質點由靜止開始做直線運動，初始加速度為，以後加速度均勻增加，每經過秒增加，求經過t秒後質點的速度和位移。
答案：；。
由題意可知，角速度和時間的關係為
根據直線運動加速度定義
時刻， 所以
又，所以
時刻， 所以
2．一質點以初速度作一維運動，所受阻力與其速率成正比，試求當質點速率為時，質點經過的距離與質點所能行經的總距離之比。
答案：。
解：質點作一維運動。初始條件：時，，。又由題意，質點的加速度可表示為
式中，k為大於零的常數。
解法一：由加速度的定義有
分離變數
由初始條件時，有
積分得所以
由初始條件時，積分得
上式可寫為
其中，為質點所能行經的最大距離。
聯立式（1）和式（2），得
故將代入上式，得
解法二：由加速度的定義，並作變數替換有
即由初始條件時，有
積分得由上式得。故當時，
又由及式（3），有
由初始條件時，積分得
即可見，質點所能行經的最大距離為
故當時，由式（4）及上式得
3．在離水面高度為h的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸邊s距離處，當人以速率v0勻速收繩時，試求船的速率和加速度大小。
答案：；。
解：建立如圖所示的座標系。
根據題意可得
由上圖可得
船的速率
船的加速度大小
當x = s時，，
4．如圖，一超音速殲擊機在高空 a 時的水平速率為1940 km/h，沿近似於圓弧的曲線俯衝到點b，其速率為2192 km/h，所經歷的時間為3s，設圓弧 ab的半徑約為3.5km，且飛機從a 到b 的俯衝過程可視為勻變速率圓周運動，若不計重力加速度的影響，求：（1）飛機在點b 的加速度；（2）飛機由點a 到點b 所經歷的路程。
答案：（1），與法向成角；（2）。
解：（1）因飛機作勻變速率運動，所以和為常量
，，已知，
，，所以
在點 b 的法向加速度
在點 b 的總加速度大小
與法向之間夾角
（2）在時間t內矢徑所轉過的角度為
飛機經過的路程為
5．如圖所示，一條寬度為d的小河，已知河水的流速隨著離開河岸的距離成正比地增加，靠兩岸邊河水的流速為零，而在河中心處流速最大，為。現有一人以不變的划船速度u沿垂直於水流方向從岸邊划船渡河，試求小船到達河心之前的運動軌跡。
答案：，即運動軌跡為拋物線。
解：以河岸為參照系，建立如圖所示的直角座標。根據題意，初始條件為時，，，。
又根據題意，當時，水流速度可表示為，
且當時，。故
即對小船有
，利用前面各式及初始條件，對上兩式分別積分，得
，聯立消去t，得
上式即為小船渡河的運動軌跡方程，為一拋物線。
注意，上式是小船划至河中心之前的軌跡方程。當時，水流速度應為
此時有，
根據前半部的計算結果知，在河心，即時，，。
以此為新的初始條件代入，積分
可解得，當時
可見小船運動軌跡仍為拋物線。
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