研究解題的方法和策略稱為探索 . george polya 提供的基本解題的探索可以分成以下幾個型別 .
(1) . 建立模型 .
(2) . 問題的圖示 .
(3) . 表徵乙個等價問題 .
(4) . 修改問題 .
(5) . 選取有效符號 .
(6) . 利用對稱性 .
(7) . 分解乙個問題成若干子問題 .
(8) . 反向推理 .
(9) . 奇偶性 .
(10) . 極值方法 .
(11) . 一般化 .
(12) . 數學歸納方法 .
(13) . 鴿龍問題 .
(14) . 數論方法 .
(15) . 複數方法 .
(16) . 代數方法 .
(17) . 級數求和 .
(18) . 函式方法 . ( 微分 , 積分方法 )
(19) . 不等式方法 .
(20) . 不等式中的函式方法 .
(21) . 幾何方法 .
(22) . 組合數學方法 .
(23) . 圖論方法 .
(1). 數學模型的建立 .
建立對問題的直接分析 , 從特殊到一般 .
例 : 證明個不同元素的集合具有個不同的子集 .
例 : 假設和為沒有公因子的正整數 . 證明 :
解 : 令（why ?）
則令,的幾何意義——在直線上
而表示下方介於軸上之間格點的個數 .
從而矩形內格點數目
注 :, 所以矩形內部上無格點 .
一般地 ,時 . 有
這是乙個典型的從特殊到一般的範例 .
(2) . 圖示法 .
例 : 假設都是正整數且則有
右邊是從乙個元集合中取個不同元的方法總數 . 將分成兩個子集和. ， .
則的每個元子集中有個元取自, 而箇元取自. . 對, 應用乘法原理 , 得右 = 左 .
(3) . 表示乙個等價問題 .
例 : 設, 求的階導數 .
(4) . 修改乙個問題 .
這個方法常用於不等式的證明中 .
例 : 設, 證明 :
解 :case 1 . 時 .
case 2 . 時 .
(5) . 選取有效的符號 .
有效的符號可以消去符號的冗餘 , 某些關係會顯露出來 .
例 : 設, 定義遞推公式
又設, 當時 ,趨向於什麼 ?
(6) . 利用對稱性 . ( 不充分性推理原則 ) .
沒有充分的理由說明存在差異就可能沒有差異 .
例 : 在下 . 求 max .
例 : 在下 . 求
(7) . 分解乙個問題成若干個子問題 .
經常需要將乙個問題分解成若干個子問題 , 然後分別解決這些子問題 .
例 : 證明圓周角同弧所對圓心角 .
(8) . 反向推理 .
basic idea ---- 反向推理是假定結論成立 , 由結論來推出某些已知的或易於證明的東西 .
關鍵在於區分那些推理方向是可逆的 .
例 : 設為三角形三邊長 , 證明 :
(9) . 反證法 .
使用反證法是首先假設結論不成立 , 然後進行推理 , 直至推出和已知條件矛盾或某些正確結論矛盾 .
範圍 : 當結論容易被否定 , 當給出條件不好利用 , 當思路不太明了 .
例 : 證明調和級數
發散 .
證明 : 設其收斂於. 則有
矛盾 !
(10) . 奇偶性 .
例 : 設是大於的奇數 ,是對稱矩陣且的每一行 , 列都是的排列 , 證明 :中每乙個數字都在主對角線上出現 .
(11) . 極值法 .
將問題置於某種極端情形下 , 所需要結構就會出現 . 從而使得問題的解決變得簡單起來 .
例 : 平面上給定不是所有都共線的有限多個點 . 證明 : 存在只通過其中兩點的直線 .
解 : 設是乙個點 ,是一直線 .是從到的距離 . 令
則( 因為所有點不會位於同一直線上 )
claim :中有最小值.
claim :只過給定點中兩個點 . 否則 ,三點在上 .
是在上垂足 ， 不妨設在一側 . 過與可連直線且.
與的定義相違 !
(12) . 問題的一般化 .
將乙個特殊 , 具體的數學問題放入乙個更加一般的環境下有兩個好處 :
1 . 固有的規律會出現
2 . 更加強大的工具會派上用場 .
例 : 求和
解 ：引入函式
則只用求出即可 !
故有 :
例 ：設有數列 ：
求其最大項.
(13) . 數學歸納方法 .
數學歸納法又稱為完全歸納法 , 常用證明問題 .
優點 —— 使證明嚴謹 ; 缺點 —— 不能用於出現新的數學性質和命題 .
(1) . 基於的歸納證明 .
原理 —— step 1 . 正確 , ( a 是初值 ) .
step 2 . 如果以下過程是正確的 : 對, 從正確能推出正確 . 則性質對所有自然數都成立 .
例 : 平面內有條直線 , 無兩條平行 , 也無三點共線 . 試證 : 這條直線將平面分成個部分 .
例 : 對於自然數和實數, 證明 :
.basic idea ---- 對於固定和區間中所有, 結論成立 .
時 .左 = 右 .
設時有現考慮. 令. 則左
右 .由歸納法原理 , 結論對所有自然數成立 .
類似可證時 , 結論也成立 .
注 : 這個例子表明 , 在使用數學歸納法時 , 必須明確對什麼東西進行歸納證明 .
(2) . 強歸納 .
原理 —— step 1 .正確 .
step 2 .如果以下過程正確 : 對從均正確 , 可以推出也正確 . 則性質對所有自然數都成立 .
例 : 設. 證明 :
解 :時 , 自然成立 .
假設不等式對於的一切, 有
這裡. 累加後有
又相加後有 :
(14) .鴿籠原理 .
鴿籠原理是數學競賽中常用的方法 , 其形式眾多 , 常見的有以下形式 :
(1) . 最簡單形式 —— 將個物體放入個盒子內 , 則有乙個盒子內有兩個物體 .
例 ：邊長為的正三角形內任意放個點,則其中有兩個點之間距離不大於.
注 : 發現和製造鴿子與籠子之間關係十分重要 .
(2) . 加強形式 —— 將個物體放入個盒子內 , 則有乙個盒子內有個物體 .
例 ：( 染色問題 ) 設有 6 個點.在每一對節點之間連一線段 .
得到乙個 6 階完全圖, 現用 0 或 1 這兩種顏色給的邊染色 ，每一邊只能接受一種顏色 . 證明 : 無論怎樣給的邊染色 , 其中總有單色三角形 .
(3) . 統計形式 —— 設有個非負實數如果
則必有某.
(15) . 數論方法 .
(16) . 複數方法 .
複數涉及範圍廣 , 常用知識如下 :
(1) . 複數形式 :
(2) . 開方運算 .
設有則,
(3) de moivre 定理 .
例 : 按展開.
例 ：求常數
解 :例 : 證明
解 : 令
則比較兩邊的實部後 , 有
例 : 多項式
如果則必有虛部不為零的復根 .
解 :由代數基本定理 ,可以完全分解為
從而如果, 則中一定有虛部不為零的複數 . ( 否則 , 由.)
(17) . 代數方法 .
( 1 ) . 因式分解 .
常用公式:
例 : 證明是合數 , 其中.
basic idea —— 將進行因式分解 ( 如下 )
例 : 證明下面數列中每乙個數都是合數 ,
解 : 原數列為 :
考慮更為一般情形 :
case 1 .
case 2 .
綜上所述 , 上述數列中每乙個數都是合數 .
( 2 ) . 多項式的唯一因式分解 .
核心定理 1 —— 設是乙個多項式 .
核心定理 2 ( 代數基本定理 ) . 複數域上的多項式可以完全分解 .
推論 1 —— 實數域上多項式不可約因式次數.
核心定理 3 —— 歐幾里德除法 .
例 : 求多項式 ,
解 :運用歐幾里德除法 , 求.
取, , 則
例 : 證明對每個自然數,是不可約分數 .
解 : 只用證明就可以 .
注 : 這是個多項式問題 .
( 3 ) . 兩多項式恒等條件 .
核心結果 ——的每個係數為 0 .
核心結果 —— .
如果在個不同點上為零 , 則.
推論 —— 兩個次多項式與中每個係數相同 .
注意 —— 此性質常用來證明組合恒等式 .
例 : 如果且, 證明
例 : 設是乙個次多項式 ,. 求.
解 :, 則有, ,
, ,.
,.(18) . 級數求和 .
數列求和是數學競賽的基本問題之一 , 主要有以下幾個方面 .
( 1 ) . 二項式係數求和 .
( 2 ) . 等比數列求和 .
例 : 求和.
例 : 設
求和.解 :
( 3 ) . 交叉消去法求和 .
例 : 求和 :
解 : 令
(19) . 函式方法 .
函式方法是建立在連續數學與離散數學之間的橋梁 , 乙個離散問題往往將其放入更大而廣泛環境下 , 會顯露其基本特徵 , 導致問題的順利解決 .
小學數學中常用的思想方法
數學思想和數學方法的教學要求教師必需較好地重視並掌握有關的數學思想和數學方法。數學思想方法是以數學為工具進行科學研究的方法。縱觀數學的發展史我們看到數學總是伴隨著數學思想方法的發展而發展的。如座標法思想的具體應用產生了解析幾何 無限細分求和思想方法導致了微積分學的誕生，數學思想方法產生數學知識，而數...
初中數學競賽常用解題方法 代數
一 配方法 例1 化簡 提示 把大根號下的東東整成完全平方形式。練習 若，試求x z與y的關係。提示 展開重新因式分解，往x z的這種形式整。答案x y 2y 二 非負數法 例2 在實數範圍內解方程.提示 因為右邊的數肯定是有理數，所以左邊的根號肯定也能開出來,可以用幾個較小的數試試。答案 x 1,...
初中數學競賽常用解題方法 代數
一 配方法 例1 化簡.練習 若，試求x z與y的關係。二 非負數法 例2 在實數範圍內解方程.三 構造法 1 構造多項式 例3 三個整數a b c的和是6 的倍數.那麼它們的立方和被6除，得到的餘數是 a 0 b 2 c 3 d 不確定的 2 構造有理化因式 例4 已知.則 3 構造對偶式 例5 ...