高考中的遞推數列求通項問題,情境新穎別緻,有廣度,創新度和深度,是高考的熱點之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進行嚴格的邏輯推理,找到數列的通項公式,為此介紹幾種常見遞推數列通項公式的求解方法。
型別一:(可以求和)累加法
例1、在數列中,已知=1,當時,有,求數列的通項公式。
解析:上述個等式相加可得:
評注:一般情況下,累加法裡只有n-1個等式相加。
型別一專項練習題:
1、已知,(),求
2、已知數列, =2, =+3+2,求。
3、已知數列滿足,求數列的通項公式。
4、已知中,,求
5、已知,,求數列通項公式.
6、 已知數列滿足求通項公式?()
7、若數列的遞推公式為,則求這個數列的通項公式
8、 已知數列滿足,求數列的通項公式。
9、已知數列滿足,,求
10、數列中,,(是常數,),且成公比不為的等比數列.
()求的值c=2
()求的通項公式
11、設平面內有n條直線,其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用表示這條直線交點的個數,則 5 ;
當時, (用表示).
型別二: (可以求積)累積法
例1、在數列中,已知有,()求數列的通項公式。
解析:又也滿足上式;
評注:一般情況下,累積法里的第一步都是一樣的。
型別二專項練習題:
1、 已知, (),求
2、已知數列滿足,,求。
3、已知中,,且,求數列的通項公式.
4、已知, ,求
5、已知,,求數列通項公式.
6、已知數列滿足,求通項公式
7、已知數列滿足,求數列的通項公式。
8、已知數列,滿足a1=1, (n≥2),則的通項
9、設是首項為1的正項數列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …),求它的通項公式
10、數列的前n項和為,且,=,求數列的通項公式
型別三: 待定常數法
可將其轉化為,其中,則數列為公比等於a的等比數列,然後求即可。
例1 在數列中,,當時,有,求數列的通項公式。
解析:設,則
,於是是以為首項,以3為公比的等比數列。
型別三專項練習題:
1、 在數列中,,,求數列的通項公式。
2、若數列的遞推公式為,則求這個數列的通項公式
3、已知數列中,a=1,a= a+ 1求通項a.
4、在數列(不是常數數列)中,且,求數列的通項公式.
5、在數列中,求
6、已知數列滿足求數列的通項公式.
7、設二次方程x-x+1=0(n∈n)有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用表示a;
(2)求證:數列是等比數列;
(3)當時,求數列的通項公式
8、在數列中,為其前項和,若,,並且,試判斷是不是等比數列? 是
型別四:
可將其轉化為-----(*)的形式,列出方程組,解出還原到(*)式,則數列是以為首項,為公比的等比數列,然後再結合其它方法,就可以求出。
例1 在數列中,,,且求數列的通項公式。
解析:令
得方程組解得
則數列是以為首項,以2為公比的等比數列
評注:在中,若a+b+c=0,則一定可以構造為等比數列。
例2 已知、,,求
解析:令,整理得
;兩邊同除以得,,
令, 令,得
,故是以為首項,為公比的等比數列。
, 即,得
型別四專項練習題:
1、已知數列中,, ,,求。
2、 已知 a1=1,a2=, =-,求數列{}的通項公式.
3、已知數列中,是其前項和,並且,
⑴設數列,求證:數列是等比數列;
⑵設數列,求證:數列是等差數列;
⑶求數列的通項公式及前項和。
4、數列:,,求數列的通項公式。
型別五: (且)
一般需一次或多次待定係數法,構造新的等差數列或等比數列。
例1 設在數列中,,求數列的通項公式。
解析:設
展開後比較得
這時是以3為首項,以為公比的等比數列
即, 例2 在數列中,,求數列的通項公式。
解析:,兩邊同除以得是以=1為首項,2為公差的等差數列。
即例3 在數列中,,求數列的通項公式。
解析:在中,先取掉,得
令,得,即;
然後再加上得 ;
兩邊同除以,得
是以為首項,1為公差的等差數列。
,評注:若中含有常數,則先待定常數。然後加上n的其它式子,再構造或待定。
例4 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解析:在中取掉待定
令,則, ;再加上得,
,整理得:,
令,則令 ;
即;數列是以為首項,為公比的等比數列。
,即;整理得
型別5專項練習題:
1、設數列的前n項和,求數列的通項公式
2、已知數列中,點在直線上,其中
(1) 令求證:數列是等比數列;
(2) 求數列的通項
3、已知,,求。
4、設數列:,求.
5、已知數列滿足,求通項
6、在數列中,,求通項公式。
7、已知數列中,,,求。
8、已知數列{a},a=1, n∈n,a= 2a+3 n ,求通項公式a.
9、已知數列滿足,求數列的通項公式。
10、若數列的遞推公式為,則求這個數列的通項公式
11、已知數列滿足,求
12、 已知數列滿足,,求數列的通項公式。
13、已知數列滿足,求數列的通項公式。
14、 已知,,求
15、 已知中,,,求.
16、已知數列中,是其前項和,並且,
⑴設數列,求證:數列是等比數列;
⑵設數列,求證:數列是等差數列;
⑶求數列的通項公式及前項和。
型別六:()倒數法
例1 已知,,求。
解析:兩邊取倒數得:,設則;
令;展開後得,;;
是以為首項,為公比的等比數列。
;即,得;
評注:去倒數後,一般需構造新的等差(比)數列。
型別六專項練習題:
1、若數列的遞推公式為,則求這個數列的通項公式。
2、已知數列{}滿足時,,求通項公式。
3、已知數列{an}滿足:,求數列{an}的通項公式。
4、設數列滿足求
5、已知數列{}滿足a1=1,,求
6、 在數列中,,求數列的通項公式.
7、若數列{a}中,a=1,a= n∈n,求通項a.
型別七:
例1 已知數列前n項和.
求與的關係2)求通項公式.
解析: 時,,得;
時,;得。
(2)在上式中兩邊同乘以得;
是以為首項,2為公差的等差數列;
;得。型別七專項練習題:
1、數列的前n項和為sn,a1=1,an+1=2sn.求數列的通項an。
2、已知在正整數數列中,前項和滿足,求數列的通項公式
3、已知數列的前n項和為sn = 3n – 2, 求數列的通項公式.
4、設正整數的前n項和sn =,求數列的通項公式.
5、如果數列的前n項的和sn =, 那麼這個數列的通項公式是an = 2·3n
6、已知無窮數列的前項和為,並且,求的通項公式
型別八:週期型
例1、若數列滿足,若,則的值為
解析:根據數列的遞推關係得它的前幾項依次為:
;我們看出這個數列是乙個週期數列,三項為乙個週期;
.評注:有些題目,表面看起來無從下手,但你歸納出它的前幾項後,就會發現規律,出現週期性,問題就迎刃而解。
型別八專項練習題:
1、已知數列滿足,則= ( b )
a.0 b. c. d.
2、在數列中4
型別九、利用數學歸納法求通項公式
例1 已知數列滿足,求數列的通項公式。
解析:根據遞推關係和得,
所以猜測,下面用數學歸納法證明它;
時成立(已證明)
假設時,命題成立,即,
則時, =
=。時命題成立;
由可知命題對所有的均成立。
評注:歸納、猜想數學歸納法證明是我們必須掌握的一種方法。
型別九專項練習題:
1. 設數列滿足:,且,則的乙個通項公式為 ,
2、已知是由非負整數組成的數列,滿足,,(n=3,4,5…)。
(1)求; 2
(2)證明(n=3,4,5…);(數學歸納法證明)
(3)求的通項公式及前n項的和。;
3、已知數列中=,。
(1) 計算
(2) 猜想通項公式,並且數學歸納法證明。
遞推數列的通項公式的求法,雖無固定模式,但也有規律可循;主要靠觀察分析、累加、累積、待定係數法,或是轉化為等差或等比數列的方法解決;再或是歸納、猜想、用數學歸納法證明的方法來解決,同學們應歸納、總結它們的規律,通過練習,鞏固掌握它。
常見遞推數列通項的九種求解方法
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常見遞推數列通項的求解方法練習題
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求解遞推數列通項公式的常用方法
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