高考中的遞推數列求通項問題，情境新穎別緻，有廣度，創新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進行嚴格的邏輯推理，找到數列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數列通項公式的求解方法。
型別一：（可以求和）累加法
例1、在數列中，已知=1，當時，有，求數列的通項公式。
解析：上述個等式相加可得：
評注：一般情況下，累加法裡只有n-1個等式相加。
【型別一專項練習題】
1、已知，（），求
2、已知數列， =2， =+3+2，求。
3、已知數列滿足，求數列的通項公式。
4、已知中，，求
5、已知,,求數列通項公式.
6、 已知數列滿足求通項公式？
7、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式
8、 已知數列滿足，求數列的通項公式。
9、已知數列滿足，，求
10、數列中，，（是常數，），且成公比不為的等比數列．
（）求的值求的通項公式
11、設平面內有n條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這條直線交點的個數，則 ；
當時， （用表示）．
答案:1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.(1)2 (2)
11.(1)5 (2)
型別二： （可以求積）累積法
例1、在數列中，已知有，()求數列的通項公式。
解析：又也滿足上式；
評注：一般情況下，累積法里的第一步都是一樣的。
【型別二專項練習題】
1、 已知， ()，求
2、已知數列滿足，，求。
3、已知中，，且，求數列的通項公式.
4、已知， ，求
5、已知,,求數列通項公式.
6、已知數列滿足，求通項公式
7、已知數列滿足，求數列的通項公式。
8、已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
9、設是首項為1的正項數列, 且(n + 1)a- na+an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通項公式
10、數列的前n項和為，且，＝，求數列的通項公式.
答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10
型別三： 待定常數法
可將其轉化為，其中，則數列為公比等於a的等比數列，然後求即可。
例1 在數列中，，當時，有，求數列的通項公式。
解析：設，則
，於是是以為首項，以3為公比的等比數列。
【型別三專項練習題】
1、 在數列中，，，求數列的通項公式。
2、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式
3、已知數列中，a=1，a= a+ 1求通項a．
4、在數列(不是常數數列)中,且,求數列的通項公式.
5、在數列中，求
6、已知數列滿足求數列的通項公式.
7、設二次方程x-x+1=0(n∈n)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
(1)試用表示a；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）當時，求數列的通項公式
8、在數列中，為其前項和，若，，並且，試判斷是不是等比數列？
答案：1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.(1) (3) 8.是
型別四：
可將其轉化為-----（*）的形式，列出方程組,解出還原到（*）式，則數列是以為首項，為公比的等比數列，然後再結合其它方法，就可以求出。
例1 在數列中，，，且求數列的通項公式。
解析：令
得方程組解得
則數列是以為首項，以2為公比的等比數列
評注：在中，若
a+b+c=0,則一定可以構造為等比數列。
例2 已知、,,求
解析：令，整理得
；兩邊同除以得，，
令，令，得
∴，故是以為首項，為公比的等比數列。
， 即，得
【型別四專項練習題】
1、已知數列中，, ,，求。
2、 已知 a1=1，a2=， =-,求數列｛｝的通項公式.
3、已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
4、數列：，，求數列的通項公式。
答案：1. 2. 3.(3)
4. 型別五： （且）
一般需一次或多次待定係數法，構造新的等差數列或等比數列。
例1 設在數列中，，求數列的通項公式。
解析：設
展開後比較得
這時是以3為首項，以為公比的等比數列
即， 例2 在數列中，，求數列的通項公式。
解析：，兩邊同除以得是以=1為首項，2為公差的等差數列。
即例3 在數列中，，求數列的
通項公式。
解析：在中，先取掉，得
令，得，即；
然後再加上得 ；
兩邊同除以，得是以為首項，1為公差的等差數列。
，評注：若中含有常數，則先待定常數。然後加上n的其它式子，再構造或待定。
例4 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解析：在中取掉待定
令，則， ；再加上得，
，整理得：，
令，則令 ；
即；數列是以為首項，為公比的等比數列。
，即；整理得
型別5專項練習題：
1、設數列的前n項和，求數列的通項公式
2、已知數列中，點在直線上，其中
（1） 令求證：數列是等比數列；
（2） 求數列的通項
3、已知，，求。
4、設數列：，求.
5、已知數列滿足，求通項
6、在數列中，，求通項公式。
7、已知數列中，,，求。
8、已知數列｛a｝，a=1, n∈n，a= 2a＋3 n ,求通項公式a．
9、已知數列滿足，求數列的通項公式。
10、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式
11、已知數列滿足,求
12、 已知數列滿足，，求數列的通項公式。
13、已知數列滿足，求數列的通項公式。
14、 已知，，求
15、 已知中，，，求.
16、已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
⑶求數列的通項公式及前項和。
答案：1. 2.(2) 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13.
14. 15. 16.(3)
型別六：（）倒數法
例1 已知，，求。
解析：兩邊取倒數得：，設則；
令；展開後得，；；
是以為首項，為公比的等比數列。
；即，得；
評注：去倒數後，一般需構造新的等差（比）數列。
【型別六專項練習題】：
1、若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式。
2、已知數列{}滿足時，，求通項公式。
3、已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
4、設數列滿足求
5、已知數列{}滿足a1=1，，求
6、在數列中，，求數列的通項公式.
7、若數列｛a｝中，a=1，a= n∈n，求通項a．
答案：1. 2. 3. 4. 5.
6. 7.
型別七：
例1 已知數列前n項和.
求與的關係2）求通項公式.
解析： 時，，得；
時，；得。
（2）在上式中兩邊同乘以得；
是以為首項，2為公差的等差數列；
；得。【型別七專項練習題】：
1、數列的前n項和為sn，a1=1，an+1=2sn.求數列的通項an。
2、已知在正整數數列中，前項和滿足，求數列的通項公式
3、已知數列的前n項和為sn = 3n – 2, 求數列的通項公式.
4、設正整數的前n項和sn =，求數列的通項公式.
5、如果數列的前n項的和sn =, 那麼這個數列的通項公式?
6、已知無窮數列的前項和為，並且，求的通項公式？
答案：1. 2. 3. 4. 5. an = 2·3 6
型別八：週期型
例1、若數列滿足，若，則的值為
解析：根據數列的遞推關係得它的前幾項依次為：
；我們看出這個數列是乙個週期數列，三項為乙個週期；
.評注：有些題目，表面看起來無從下手，但你歸納出它的前幾項後，就會發現規律，出現週期性，問題就迎刃而解。
【型別八專項練習題】：
1、已知數列滿足，則= （ ）
a．0 b． c． d．
2、在數列中，
答案： 2.-4 型別
九、利用數學歸納法求通項公式
例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解析：根據遞推關係和得，
所以猜測，下面用數學歸納法證明它；
時成立（已證明）假設時，命題成立，即，
則時， =
=。時命題成立；
由可知命題對所有的均成立。評注：歸納、猜想數學歸納法證明是我們必須掌握的一種方法。
【型別九專項練習題】：
1.設數列滿足：，且，則的乙個通項公式為?
2.已知是由非負整數組成的數列，滿足，，（n=3，4，5…）。
常見遞推數列通項的求解方法練習題
型別一專項練習題 1 已知，求 2 已知數列，2，3 2，求。3 已知數列滿足，求數列的通項公式。4 已知中，求 5 已知,求數列通項公式.6 已知數列滿足求通項公式？7 若數列的遞推公式為，則求這個數列的通項公式 8 已知數列滿足，求數列的通項公式。9 已知數列滿足，求 10 數列中，是常數，且成...
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