例1 (2023年恩施)如圖1，在同一平面內,將兩個全等的等腰直角三角形abc和afg擺放在一起，a為公共頂點，∠bac=∠agf=90°，它們的斜邊長為2，若abc固定不動，afg繞點a旋轉，af、ag與邊bc的交點分別為d、e(點d不與點b重合,點e不與點c重合),設be=m，cd=n.
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，並選取其中一對進行證明.
（2）求m與n的函式關係式，直接寫出自變數n的取值範圍.
（3）以abc的斜邊bc所在的直線為x軸，bc邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角座標系(如圖2).在邊bc上找一點d，使bd=ce，求出d點的座標，並通過計算驗證bd＋ce=de.
（4）在旋轉過程中,(3)中的等量關係bd＋ce=de是否始終成立,若成立,請證明,若不成立請說明理由
1.（2023年牡丹江）已知中，為邊的中點，
繞點旋轉，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）於、
當繞點旋轉到於時（如圖1），易證
當繞點旋轉到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、、又有怎樣的數量關係？請寫出你的猜想，不需證明．
2. （2023年大連）兩個全等的和如圖放置，點在同一條直線上．
操作：在圖中，作的平分線，過點作，垂足為，鏈結．
**：線段的關係，並證明你的結論．
理由3.如圖，d為等腰直角△abc斜邊bc上的乙個動點（d與b、c均不重合），鏈結ad，以ad為一邊作等腰直角△ade，de為斜邊，
鏈結ce．
（1）求證：△ace≌△abd；
（2）設bd=，若ab=；①當△dce的面積為1.5時，
求的值；
②試問：△dce的面積是否存在最在值，若存在，請求出
這個最大值，並指出此時的取值，若不存在，請說明理
由．4.（1） 已知：如圖1，rt△abc中，∠acb=90°，ac=bc，點d、e在斜邊ab上，且∠dce=45°. 求證：線段de、ad、eb總能構成乙個直角三角形；
（2）已知：如圖2，等邊三角形abc中，點d、e在邊ab上，且∠dce=30°，請你找出乙個條件，使線段de、ad、eb能構成乙個等腰三角形，並求出此時等腰三角形頂角的度數；
（3）在（1）的條件下，如果ab=10，求bd·ae的值．
例2(2023年武漢)如圖1， 填空或解答：點在同一直線上，點在直線的同側，，，，直線交於點．
(1)如圖1，若，則_______；如圖2，若，則_______；
(2)如圖3，若，則_______（用含的式子表示）；
(3)將圖3中的繞點旋轉（點不與點重合），得圖4或圖5．在圖4中，與的數量關係是_______；在圖5中，與的數量關係是_______．請你任選其中乙個結論證明．
1. （1）如圖1，點是線段的中點，分別以和為邊**段同側作等邊三角形和等邊三角形，鏈結和，相交於點，鏈結．求的大小；
（2）如圖2，固定不動，保持的形狀和大小不變，將繞著點旋轉某乙個角（和不能重疊），求的大小．
2. 如圖，在中，，點在直線上運動，設，.（1）如果，試確定與之間的關係式；
（2）如果，，且與始終滿足（1）中的關係，那麼將具備怎樣的關係？試說明理由.
3已知：如圖1所示，在和中，，，，且點在一條直線上，連線，分別為的中點．
（1）求證：①；②是等腰三角形．
（2）在圖1的基礎上，將繞點按順時針方向旋轉，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；
（3）在（2）的條件下，請你在圖2中延長交線段於點．求證：
4.（2023年山西省）在中，將繞點順時針旋轉角得交於點，分別交於兩點．
（1）如圖1，觀察並猜想，在旋轉過程中，線段與有怎樣的數量關係？並證明你的結論；
（2）如圖2，當時，試判斷四邊形的形狀，並說明理由；
（3）在（2）的情況下，求的長．
5.(2023年常德) 如圖1，若△abc和△ade為等邊三角形，m，n分別eb，cd的中點，易證：cd=be，△amn是等邊三角形．（1）當把△ade繞a點旋轉到圖2的位置時，cd=be是否仍然成立？
若成立請證明，若不成立請說明理由；
（2）當△ade繞a點旋轉到圖3的位置時，△amn是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，並求出當ab=2ad時，△ade與△abc及△amn的面積之比；若不是，請說明理由．
例3(2023年宜昌)如圖1，在△abc中，ab＝bc＝5，ac=6. △ecd是△abc沿bc方向平移得到的，連線和be相交於點o.
（1）判斷四邊形abce是怎樣的四邊形，說明理由；
（2）如圖2，p是線段bc上一動點（不與點b、c重合），連線po並延長交線段ab於點q，qr⊥bd，垂足為點r.四邊形pqed的面積是否隨點p的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形pqed的面積；當線段bp的長為何值時，△pqr與△boc相似？
1. (2023年益陽)兩個全等的直角三角形abc和def重疊在一起，其中∠a=60°，ac=1. 固定△abc不動，將△def進行如下操作：
(1) 如圖(1)，△def沿線段ab向右平移(即d點**段ab內移動)，鏈結dc、cf、fb，四邊形cdbf的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積.
(2)如圖(2)，當d點移到ab的中點時，請你猜想四邊形cdbf的形狀，並說明理由.
(3)如圖(3)，△def的d點固定在ab的中點，然後繞d點按順時針方向旋轉△def，使df落在ab邊上，此時f點恰好與b點重合，鏈結ae，請你求出sinα的值.
2. (2023年河北)如圖1，的邊在直線上，，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且．
（1）在圖1中，請你通過觀察、測量，猜想並寫出與所滿足的數量關係和位置關係；
（2）將沿直線向左平移到圖2的位置時，交於點，鏈結，．猜想並寫出與所滿足的數量關係和位置關係，請證明你的猜想；
（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時，的延長線交的延長線於點，鏈結，．你認為（2）中所猜想的與的數量關係和位置關係還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
3.(2023年青島)如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形abc和efg疊放在一起（點a與點e重合），已知ac＝8cm，bc＝6cm，∠c＝90°，eg＝4cm，∠egf＝90°，o 是△efg斜邊上的中點．
如圖②，若整個△efg從圖①的位置出發，以1cm/s 的速度沿射線ab方向平移，在△efg 平移的同時，點p從△efg的頂點g出發，以1cm/s 的速度在直角邊gf上向點f運動，當點p到達點f時，點p停止運動，△efg也隨之停止平移．設運動時間為x（s），fg的延長線交 ac於h，四邊形oahp的面積為y（cm2)（不考慮點p與g、f重合的情況）．
（1）當x為何值時，op∥ac ?
（2）求y與x 之間的函式關係式，並確定自變數x的取值範圍．
（3）是否存在某一時刻，使四邊形oahp面積與△abc面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考資料：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.
42 ＝19.36，4.52 ＝20.
25，4.62 ＝21.16）
4.（2023年廣州）如圖，在梯形abcd中，ad∥bc，ab=ad=dc=2cm，bc=4cm，在等腰△pqr中，∠qpr=120°，底邊qr=6cm，點b、c、q、r在同一直線l上，且c、q兩點重合，如果等腰△pqr以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運動，t秒時梯形abcd與等腰△pqr重合部分的面積記為s平方厘公尺
（1）當t=4時，求s的值；
（2）當，求s與t的函式關係式，並求出s的最大值.
例4（2023年福州）已知：如圖，等邊三角形abc中，ab＝2，點p是ab邊上的任意一點（點p可以與點a重合，但不與點b重合），過點p作pe⊥bc，垂足為e；過點e作ef⊥ac，垂足為f；過點f作fq⊥ab，垂足為q.設bp＝，aq＝.
（1）寫出與之間的函式關係式；
（2）當bp的長等於多少時，點p與點q重合；
（3）當線段 pe、fq相交時，寫出線段 pe、ef、fq所圍成三角形的周長的取值範圍（不必寫出解題過程）
1.（2023年煙台）如圖，菱形abcd的邊長為2，bd=2，e、f分別是邊ad，cd上的兩個動點，且滿足ae+cf=2.
（1）求證：△bde≌△bcf；
（2）判斷△bef的形狀，並說明理由；
（3）設△bef的面積為s，求s的取值範圍.
2.（2023年杭州）如圖，在等腰△中，是底邊上的高線，點是線段上不與端點重合的任意一點，連線交於點，連線交於點.
(1) 證明：；
(2) 證明：；
(3) 以線段和為邊構成乙個新的三角形（點與點重合於點），記△和△的面積分別為和，如果存在點，能使得, 求∠的取值範圍.
3.（2023年河北）已知：如圖，等邊三角形abc的邊長為6，點d，e分別在邊ab，ac上，且ad=ae=2.
若點f從點b開始以每秒1個單位長的速度沿射線bc方向運動，設點f運動的時間為t秒.當t>0時，直線fd與過點a且平行於bc的直線相交於點g，ge的延長線與bc的延長線相交於點h，ab與gh相交於點o.
（1）設△ega的面積為s，寫出s與t的函式關係式；
（2）當t為何值時，ab⊥gh；
（3）請你證明△gfh的面積為定值；
（4）當t為何值時，點f和點c是線段bh的三等分點.
特殊三角形
a 有一腰和一角對應相等b 有兩邊對應相等 c 有頂角和乙個底角對應相等 d 有兩角對應相等 17 使兩個直角三角形全等的條件是 a 兩直角邊對應相等b 一銳角對應相等 c 兩銳角對應相等 d 斜邊相等 18 在 abc中，ab ac，下列推理中錯誤的是 a 如果ad是中線，那麼ad bc，bad ...
特殊三角形複習
1.等腰直角三角形的乙個底角的度數是 a 30 b 45 c 60 d 90 2.已知等腰三角形的兩條邊長分別為2和5，則它的周長為 a 9 b 12 c 9或12 d 5 3 如圖，已知直線且則等於 a b c d 4.的角平分線ad交b於點d，則點d到ab的距離是 a 1 b 2 c 3 d 4...
特殊三角形習題
1.2005黑龍江 在下面圖形中，每個大正方形網格都是由邊長為1的小正方形組成，則圖中陰影部分面積最大的是 2 正三角形abc所在平面內有一點p，使得 pab pbc pca都是等腰三角形，則這樣的p點有 a 1個 b 4個 c 7個 d 10個 3.如圖,16 9的矩形分成四塊後可拼成乙個正方形,...