軌跡方程常用方法總結
軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問題之一，也是近幾年來高考中的常見題型之一。學生解這類問題時，不善於揭示問題的內部規律及知識之間的相互聯絡，動輒就是羅列一大堆的座標關係，進行無目的大運動量運算，致使不少學生喪失信心，半途而廢，因此，在平時教學中，總結和歸納探求軌跡方程的常用技法，對提高學生的解題能力、優化學生的解題思路很有幫助。本文通過典型例子闡述探求軌跡方程的常用技法。
1．直接法
根據已知條件及一些基本公式如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關係式，從而求得軌跡方程。
例1:已知線段，直線相交於，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程。
解：以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立座標系，則，設點的座標為，則直線的斜率，直線的斜率,由已知有，化簡，整理得點的軌跡方程為
例2：過點任作互相垂直的兩直線和，分別交軸於點，求線段中點的軌跡方程。
解：設點座標為，由中點座標公式及在軸上得， ， ，
，化簡得
當時，，，此時的中點它也滿足方程，所以中點的軌跡方程為。
練習：1．平面內動點到點的距離與到直線的距離之比為2，則點的軌跡方程是
2.動點p與定點a(－1,0), b(1,0)的連線的斜率之積為－1，則p點的軌跡方程是： （ ）
3.一動點到兩座標軸的距離之和的2倍，等於該點到原點距離的平方，則動點的軌跡方程是
4.動點p到直線x=1的距離與它到點a（4，0）的距離之比為2，則p點的軌跡是：（ ）
a.中心在原點的橢圓b.中心在（5，0）的橢圓
c.中點在原點的雙曲線d.中心在（5，0）的雙曲線
5.已知圓x2+y2=4，過a（4，0）作圓的割線abc，則弦bc中點的軌跡方程是（ ）
a、(x－2)2+y2=4b、(x－2)2+y2=4(0≤x＜1)
c、(x－1)2+y2=4d、(x－1)2+y2=4(0≤x＜1)
2．定義法
通過圖形的幾何性質判斷動點的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質定理。
例3：若為的兩頂點，和兩邊上的中線長之和是，則的重心軌跡方程是
解：設的重心為，則由和兩邊上的中線長之和是可得
，而點為定點，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓。所以由可得，故的重心軌跡方程是
例4：動圓過定點，且與圓相切，求動圓圓心軌跡方程。
解：根據題意，說明點到定點的距離之差的絕對值為定值，故點的軌跡是雙曲線
故動圓圓心的軌跡方程為
練習：1.方程表示的曲線是（ ）
a．橢圓 b．雙曲線 c．線段d．拋物線
2.已知圓c：及一點p（3，0），求過點p且與已知圓內切的圓的圓心m的軌跡方程
3.若一動圓與兩圓x2+y2=1, x2+y2－8x+12=0都外切，則動圓圓心的軌跡為（ ）
a.拋物線 b.圓 c.雙曲線的一支 d.橢圓
4.點m到f（3，0）的距離比它到直線x+4=0 的距離小1，則點m的軌跡方程是（ ）
>0) >0)
3.相關點法(代入法)
用動點q的座標x，y表示相關點p的座標x0、y0，然後代入點p的座標（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法．
相關點法求曲線方程時一般有兩個動點，乙個是主動的，另乙個是次動的。當題目中的條件同時具有以下特徵時，一般可以用轉移法求其軌跡方程：
①某個動點在已知方程的曲線上移動；
②另乙個動點隨的變化而變化；
③在變化過程中和滿足一定的規律。
例5:已知a（2，0），b，點c在直線上移動，求abc重心g的軌跡方程。
分析：重心g的運動是由點c在直線上運動引起的，因而設g（x,y），再用表示出點c的座標，就可以建立起點g的軌跡方程.
例6：曲線x2+4y2=4關於點m（3，5）對稱的曲線方程為
例7：已知是以為焦點的雙曲線上的動點，求的重心的軌跡方程。
解：設重心，點，因為，則有， 故代入，得所求軌跡方程
例8：從雙曲線上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程
分析：從題意看動點的相關點是，在雙曲線上運動，所以本題適合用相關點法。
解：設動點的座標為，點的座標為，則點的座標為
在直線上， …①
又垂直於直線， ，即…②
由①②解得…③ 又點在雙曲線上， …④，
③代入④，得動點的軌跡方程為
練習：1.設圓，過原點作圓的弦oa，求oa中點b的軌跡方程.
2.已知拋物線y2=x+1，定點a(3，1)、b為拋物線上任意一點，點p**段ab上，且有bp∶pa=1∶2，當b點在拋物線上變動時，求點p的軌跡方程．
3.從定點a（0，4），連線雙曲線上任一點q，若，求點p的軌跡方程。
4.已知△abc，a(-2，0)、b(0，-2)，第三個頂點c在曲線y=3x2-1上移動，求△abc的重心的軌跡方程．
4.點差法
圓錐曲線中與弦的中點有關的問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的座標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關係式，由於弦的中點的座標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程。
例9：橢圓中,過的弦恰被點平分,則該弦所在直線方程為
解：設過點的直線交橢圓於、，則有
②①②可得，而為線段的中點，故有，所以，即。所以所求直線方程為化簡可得
練習：1.已知以為圓心的圓與橢圓交於、兩點，求弦的中點的軌跡方程。
2.拋物線焦點弦的中點軌跡方程是
3.動圓與x軸相切，且被直線y=x所截得的弦長為2，則動圓圓心的軌跡方程為
4.經過拋物線y2=4x的焦點的弦中點軌跡方程是
5.傾斜角為的直線交橢圓+y2=1於a、b兩點，則線段ab中點的軌跡方程是
5.引數法
求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，通過「座標互化」將其轉化為尋求變數間的關係。在確定了軌跡方程之後，有時題目會就方程中的引數進行討論；引數取值的變化使方程表示不同的曲線；引數取值的不同使其與其他曲線的位置關係不同；引數取值的變化引起另外某些變數的取值範圍的變化等等。
例10：過拋物線（）的頂點作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點的軌跡方程.
解：設，直線的斜率為，則直線的斜率為.直線oa的方程為，由解得，即，同理可得.
由中點座標公式，得，消去，得，此即點的軌跡方程.
6．交軌法
若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的方程，也可以解方程組先求出交點的引數方程，再化為普通方程。
例11：已知是橢圓中垂直於長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。
解1:(利用點的座標作引數)令，則，而.設與的交點為，因為共線，所以因為共線，所以，兩式相乘得①， 而，即代入①，得， 即交點的軌跡方程為
解2: (利用角作引數)
設，則所以兩式相乘消去
即可得所求的點的軌跡方程為。
總結歸納
1．要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的座標的取值範圍．由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的「完備性」和「純粹性」，即軌跡若是曲線的一部分，應對方程註明的取值範圍，或同時註明的取值範圍。
2．「軌跡」與「軌跡方程」既有區別又有聯絡，求「軌跡」時首先要求出「軌跡方程」，然後再說明方程的軌跡圖形，最後「補漏」和「去掉增多」的點，若軌跡有不同的情況，應分別討論，以保證它的完整性。
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