一、 填空題（每小題4分，共40分）
1. 設，則
解： ，．
2. 設曲線l的方程為，，則l的拐點個數為解：，．
，無拐點，即l的拐點個數為0．
3. 設，則
解：，，．
令，則，， 2009次冪項的係數．
又，．另解：利用2009階peano型餘項（或者拉格朗日型餘項）的麥克勞林公式，或者高階導數的乘法法則．
4. 設，則
解：，．而，
．．．另解：，令，則，，．而
．而．．5. 設在上連續，且，則
解： ，．
對方程兩邊求導，有．
令，有，．
6解：原式．
7. 設曲線在原點處有拐點及切線，且滿足微分方程，則曲線的方程為解：為滿足，，的特解．
由特徵方程，得特徵根，，，
得微分方程的通解為．
由初始條件，有，，
，解得，，．曲線方程為．
8. 設（，），則
解：由，有，
．．.9. 已知為等差數列，，（），且，則級數的和是解： ．
10. 設l為圓周，則
解：原式．
二、 計算題（10分）
設，，求．
解：原式
．三、 計算題（10分）
設可導函式由方程所確定，求的極值點與極值．解：視，對方程兩邊求導，得，即
由原方程知，有
令，得，代入原方程，有，
解得唯一駐點，此時．
再對式兩邊求導，得
在駐點處，有，，
為的極小值點，有極小值．
四、 證明題（10分）
試證：當時，有不等式成立．
證明：令，，則對，在0與x構成的閉區間上與滿足柯西中值th條件，所以存在介於0與x之間的，使得，即
由，即得，證畢．
另證：利用拉格朗日中值定理，或者泰勒中值定理．五、 計算題（10分）
計算二次積分．
解：積不出來，考慮交換積分次序．
．相應二重積分區域d如圖所示．
．六、 計算題（10分）
求冪級數的收斂半徑、收斂域及和函式．
解：，收斂區間為，收斂半徑為．
當時，級數為，發散．收斂域為．
．七、 計算題（10分）
求曲面積分，其中是球面
的內側．
解：（直接計算困難，考慮借助高斯公式）．
記，則，，．
，有對稱性可知，，，
有，．可以改變積分閉曲面．
記（），取內側，則
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