三角函式公式大全
倒數關係: tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的關係:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方關係:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan α *cot α=1
乙個特殊公式
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)
證明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin(a+θ)*sin(a-θ)
坡度公式
我們通常半坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度(也叫坡比), 用字母i表示,
即 i=h / l, 坡度的一般形式寫成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作
a(叫做坡角),那麼 i=h/l=tan a.
銳角三角函式公式
正弦: sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊
余弦:cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊
正切:tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊
餘切:cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊
二倍角公式
正弦sin2a=2sina·cosa
余弦即cos2a=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
正切tan2a=(2tana)/(1-tan^2(a))
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推導
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
上述兩式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
現列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可別輕視這些字元,它們在數學學習中會起到重要作用。包括一些影象問題和函式問題中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
半形公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半形公式
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);
cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化積
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)
兩角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
雙曲函式
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a+e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:
sin(2kπ+α)= sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα
cot(2kπ+α)= cotα
公式二:
設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:
sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)= cotα
公式三:
任意角α與 -α的三角函式值之間的關係:
sin(-α)= -sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
cot(-α)= -cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)= -cosα
tan(π-α)= -tanα
cot(π-α)= -cotα
公式五:
利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(2π-α)= -sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)= -tanα
cot(2π-α)= -cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π/2+α)= cosα
cos(π/2+α)= -sinα
tan(π/2+α)= -cotα
cot(π/2+α)= -tanα
sin(π/2-α)= cosα
cos(π/2-α)= sinα
tan(π/2-α)= cotα
cot(π/2-α)= tanα
sin(3π/2+α)= -cosα
cos(3π/2+α)= sinα
tan(3π/2+α)= -cotα
cot(3π/2+α)= -tanα
sin(3π/2-α)= -cosα
cos(3π/2-α)= -sinα
tan(3π/2-α)= cotα
cot(3π/2-α)= tanα
(以上k∈z)
a·sin(ωt+θ)+ b·sin(ωt+φ) =
√ · sin }
√表示根號,包括中的內容
三角函式的誘導公式(六公式)
公式一 sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三 sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
公式六tana= sina/cosa
tan(π/2+α)=-cotα
tan(π/2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
誘導公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))]
cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2))]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]
其它公式
(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1(平方和公式)
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可
(4)對於任意非直角三角形,總有
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
證:a+b=π-c
tan(a+b)=tan(π-c)
(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)
整理可得
tana+tanb+tanc=tanatanbtanc
得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈z)時,該關係式也成立
由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下結論
(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1
(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)
(7)(cosa)^2;+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc
(8)(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc
其他非重點三角函式
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
兩角和公式
sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
sin(a-b) = sinacosb-cosasinb
cos(a+b) = cosacosb-sinasinb
cos(a-b) = cosacosb+sinasinb
tan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota)
cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)
2三角函式值表
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