三角函式公式及證明
基本定義
1.任意角的三角函式值：
在此單位圓中，弧ab的長度等於；
b點的橫座標，縱座標；
（由三角形obc面積《弧形oab的面積《三角形oma的面積可得：
（））2.正切：
基本定理
1.勾股定理：
1.正弦定理： === 2r （r為三角形外接圓半徑）
2.餘弦定理：a=b+c-2bc
3.誘導公試:
奇變偶不變，符號看相線
4.正余弦和差公式:
推導結論
1. 基本結論
2. 正切和差公式：
3.二倍角公式（包含萬能公式）：
4.半形公式：（符號的選擇由所在的象限確定）
5.積化和差公式：
6.和差化積公式：
7.三角形面積公式
s⊿=a=ab=bc=ac
==2r
====pr
= (海**式，證明見下文)
(其中, r為三角形內切圓半徑)
定理結論的證明
1. 勾股定理的證明：
本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第卷命題47.
2. 正弦定理的證明：
做三角形外接圓進行證明；需利用結論同弧所對的圓周角相等，及直徑所對圓周角為直角；
同弧所對圓周角相等的證明：
本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第卷命題20.
直徑所對圓周角為直角的證明：
本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第卷命題31.
3. 餘弦定理的證明：
本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第卷命題12,13.
4. 誘導公式的證明：
同理可證
本證明選自人教版高中數學教材.
5.正余弦和差公式的證明:
可得的結論
本證明選自人教版高中數學教材.
5. 海**式的證明:
三角函式基礎
一、 誘導公式（）。 記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限。
（一（二
（三（四
（五（六
（七（八
（九隻需抓住以下三個特點，即可由左邊寫出右邊：
（1） 誘導公式右邊都是角的三角函式；
（2） 判斷函式名是否改變。判斷依據：括號內與相加減的角，若為的偶數倍，則函式名不變；若為的奇數倍，則正變余，餘變正（只能弦、切、割內部變換。
如，只能正弦變余弦，余弦變正弦，不能由弦變切或割）；
（3） 判斷正、負號。判斷依據：將看作銳角時，左邊的函式值該取什麼符號（正號或負號），就在右邊的函式名前加上同樣的符號。
二、 正弦定理和餘弦定理都是描述邊角關係的非常重要的定理。
如圖所示：任意中，, ,所對的邊分別為，則
正弦定理：（為外接圓半徑）
餘弦定理： 推論：
正弦定理與餘弦定理是等價的，具體參見文獻：《對正弦定理、餘弦定理一節的兩點建議》
三、 求任意面積的兩種方法：
1． 由右圖容易看出此結論。
2．利用海**式。
海**式：設任意三邊長分別為，半周長
，則有四、 輔助角公式
，其中，的象限由的符號確定。
五、 弧度制
把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。1弧度記作：.
1． 當圓心角為圓周時，所對的弧長，故
即乙個圓周的角度——角度制；
乙個圓周的角度——弧度制。
使用弧度制的好處是，用弧度制表示的角度與實數一一對應。
角的弧度數的絕對值：
2. 弧長：
扇形面積：
3.六、 任意角的三角函式及其符號規律
1． 任意角的三角函式：設是乙個任意大小的角，角的終邊上非原點的任意一點的座標是，與原點的距離是，則可定義角的三角函式：
正弦： 余弦：
正切： 餘切：
正割： 餘割：
2. 三角函式符號規律。口訣：「函弦切餘」
說明：（1）符號規律見右圖，第一象限角的各三角函式值均取正，
第二象限只有正弦函式（及其倒數餘割）取正，第三象限只有正、
餘切函式取正，第四象限只有余弦函式（及其倒數正割）取正。歸
納起來，由第一象限至第四象限，取正的函式分別為「函弦切餘」。
（2）由三角函式的定義及個象限內點的座標的符號即可確定各三角函式在各象限的符號。
七、 三角函式重要公式
八、 附件
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