自動控制原理輔導資料十三
學習時間：2023年7月4日－7月10日
內容：我們這周主要還是學習課件第7章離散控制系統的部分內容。希望通過下面的內容能使同學們加深對離散控制系統的相關知識的理解。
z變換又稱為離散拉普拉斯變換，是分析離散系統的重要數學工具。
注意：請同學根據老師標註的側重點擊擇性學習。
一、 z變換（了解定義）
變換定義
連續時間函式經取樣週期為的取樣開關後，得到離散訊號，即
對上式進行拉氏變換，可得
式中是離散時間函式的拉氏變換。
式中，為取樣週期。
因此，得到以為變數的函式：
變換方法
1）級數求和法：公式是離散函式的z變換的級數展開式，將其改寫成，該式為z變換的一種級數表示式，所以，只要知道連續時間函式在各個取樣時刻上的取樣值，便可求出z變換的級數展開式。
2）部分分式法
設連續時間函式的拉普拉斯變換為有理函式，並有如下形式：
將展開成部分分式和的形式，即
由拉普拉斯變換知，與項相對應的時間函式為，與項對應的z變換為,因此，函式的z變換便可由求得為
3）留數計算法
假如已知連續時間函式的拉普拉斯變換及全部極點，則的z變換可通過留數計算求得。
二、變換性質（需要重點掌握的內容）
1.線性定理
設函式、、的z變換分別為、、，a、b為常數，則有
此定理可由z變換定義直接證得。
2.時移定理
設當時為零，且具有z變換，則有
3.初值定理
如果函式的z變換為，並且時有，則有
4.終值定理
如果函式的z變換的極點均位於z平面的單位圓內，且不含有的二重以上的極點，則的終值
三、z反變換方法（需要掌握的內容）
根據求離散時間訊號或取樣時刻值的一般表示式的過程稱為z反變換，並記為。
三種常用求z反變換的方法
1. 長除法：由函式的z變換表示式，直流利用長除法求出按公升冪排列的級數形式，再經過拉普拉斯反變換，求出原函式的脈衝序列。
2. 部分分式法：通過部分分式法求取z反變換的過程，與應用部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。
3. 留數計算法：又稱反演積分法。
四、典型例題解析
變換又稱為( )，是分析離散系統的重要數學工具。
a.連續拉普拉斯變換b.線性拉普拉斯變換
c.離散拉普拉斯變換d.非線性拉普拉斯變換
答案：c
2．設連續訊號為，試按取樣定理選擇頻率。（第十二周思考題答案）
解：求連續訊號的拉式變換
其頻率特性
幅頻特性為
若在處截斷，可求頻頻寬度
如圖1所示，由取樣定理可求取樣頻率
圖1五、思考題（答案解析請見第十四周輔導資料）
已知連續時間函式的拉普拉斯變換為，求其z變換。
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