第一章三角形初步
[定義與命題]
定義：規定某一名稱或術語的意義的句子。
命題：一般地，對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。
命題一般由條件和結論組成，可以改為「如果……」，「那麼……」的形式。
正確的命題叫真命題，不正確的命題叫假命題。
基本事實：人們在長期反覆實踐中證明是正確的，不需要再加證明的命題。
定理：用邏輯的方法判斷為正確並作為推理的根據的真命題。
注意：基本事實和定理一定是真命題。
[證明]
在乙個特定的公理系統中，根據一定的規則或標準，由公理和定理推導出某些命題的過程。
[三角形]
由三條不在同一直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形
[三角形按邊分類]
三角形[三角形按內角分類]
三角形銳角三角形：三個內角都是銳角
直角三角形：有乙個內角是直角
鈍角三角形：有乙個內角是鈍角
[三角形的性質]
三角形任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。
三角形三內角和等於180°。
三角形的乙個外角等於與它不相鄰的的兩個內角之和。
[三角形的三種線]
頂角的角平分線：三條，交於一點三角形的中線：三條，交於一點三角形的高線：三條，交於一點。
思考：銳角、直角、鈍角三角形高線的交點分別在什麼位置
[全等形]
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.
[全等三角形]
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角.
[全等三角形的性質]
全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
還有其它推出來的性質：
全等三角形的周長相等、面積相等。
全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。
[三角形全等的證明]
邊邊邊：三邊對應相等的兩個三角形全等．（sss）
邊角邊：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等．(sas)
角邊角：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等．（asa）
角角邊：兩個角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（aas）
斜邊、直角邊：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．（hl）
證明兩個三角形全等的基本思路：
[角平分線的作法]尺規作圖
[角平分線的性質]
在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
∵op平分∠aob，pm⊥oa於m，pn⊥ob於n， ∴pm=pn
[角平分線的判定]
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
∵pm⊥oa於m，pn⊥ob於n，pm=pn
∴op平分∠aob
[三角形的角平分線的性質]
三角形三個內角的平分線交於一點，並且這一點到三邊的距離相等．
【最後】學習全等三角形應注意以下幾個問題：
（1)要正確區分「對應邊」與「對邊」，「對應角」與 「對角」的不同含義。
（2）表示兩個三角形全等時，表示對應頂點的字母要寫在對應的位置上。
（3）「有三個角對應相等」或「有兩邊及其中一邊的對角對應相等」的兩個三角形不一定全等。切記切記
（4）時刻注意圖形中的隱含條件，如 「公共角」 、「公共邊」、「對頂角」。
第二章特殊三角形
[軸對稱圖形]
如果乙個圖形沿某一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．毛
有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數條對稱軸．摺疊後重合的點是對應點，叫做對稱點。
[軸對稱]
有乙個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，摺疊後重合的點是對應點，叫做對稱點．兩個圖形關於直線對稱也叫做軸對稱．
[圖形軸對稱的性質]
①關於某直線對稱的兩個圖形是全等形。
②如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
③軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
④如果兩個圖形的對應點連線被同條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。
[軸對稱與軸對稱圖形的區別]
[線段的垂直平分線]
（1）經過線段的中點並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線．
（2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點距離相等的所有點的集合．
[等腰三角形]
有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．
[等腰三角形的性質]
性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成「等邊對等角」）
性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）．
特別的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應相等.
[等腰三角形的判定定理]
如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成「等角對等邊」）．
特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形．
（2）有兩邊上的角平分線對應相等的三角形是等腰三角形．
（3）有兩邊上的中線對應相等的三角形是等腰三角形．
（4）有兩邊上的高線對應相等的三角形是等腰三角形．
[等邊三角形] 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．
[等邊三角形的性質]等邊三角形的三個內角都相等，並且每乙個內角都等於60°
[等邊三角形的判定方法]
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；
（3）有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
[逆命題和逆定理]
命題：一般地，對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。
命題一般由條件和結論組成，可以改為「如果……」，「那麼……」的形式。
正確的命題叫真命題，不正確的命題叫假命題。
基本事實：人們在長期反覆實踐中證明是正確的，不需要再加證明的命題。
定理：用邏輯的方法判斷為正確並作為推理的根據的真命題。
注意：基本事實和定理一定是真命題。
互逆定理：一般來說，在兩個命題中，如果第乙個命題的題設是第二個命題的結論，而第乙個命題的結論是第二個命題的題設，那麼這兩個命題叫互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個就叫做它的逆命題。
互逆定理：如果乙個定理的逆命題也是真命題，那麼這兩個定理叫做互逆定理。其中乙個定理叫做另乙個定理的互逆定理。
注意：1.逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理一定是真命題。
2.所有的命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理。
[勾股定理]
一、 知識結構
二. 知識點回顧
1、 勾股定理的應用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關係，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係。求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
2、 如何判定乙個三角形是直角三角形
（1） 先確定最大邊（如c） （2）驗證與是否具有相等關係
（2） 若=，則△abc是以∠c為直角的直角三角形；若≠
則△abc不是直角三角形。
3、 勾股數
滿足=的三個正整數，稱為勾股數，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
第三章不等式
知識點一：不等式的概念
1.不等式：用「＜」(或「≤」)，「＞」(或「≥」)等不等號表示大小關係的式子，叫做不等式.用「≠」表示不等關係的式子也是不等式.
要點詮釋：
(1)不等號的型別:
① 「≠」讀作「不等於」，它說明兩個量之間的關係是不等的，但不能明確兩個
量誰大誰小；
②「＞」讀作「大於」，它表示左邊的數比右邊的數大；
③「＜」讀作「小於」，它表示左邊的數比右邊的數小；
④「≥」讀作「大於或等於」，它表示左邊的數不小於右邊的數；
⑤「≤」讀作「小於或等於」，它表示左邊的數不大於右邊的數；
(2)等式與不等式的關係：等式與不等式都用來表示現實世界中的數量關係，等式表示相等關係，不等式表示不等關係，但不論是等式還是不等式，都是同類量比較所得的關係，不是同類量不能比較。
(3)要正確用不等式表示兩個量的不等關係，就要正確理解「非負數」、「非正數」、「不大於」、「不小於」等數學術語的含義。
2．不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。
要點詮釋：
由不等式的解的定義可以知道，當對不等式中的未知數取乙個數，若該數使不等式成立，則這個數就是不等式的乙個解，我們可以和方程的解進行對比理解，一般地，要判斷乙個數是否為不等式的解，可將此數代入不等式的左邊和右邊利用不等式的概念進行判斷。
3．不等式的解集：
一般地，乙個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5.
不等式的解集與不等式的解的區別:解集是能使不等式成立的未知數的取值範圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數的值.
二者的關係是:解集包括解,所有的解組成了解集。
要點詮釋：
不等式的解集必須符合兩個條件：
(1)解集中的每乙個數值都能使不等式成立；
(2)能夠使不等式成立的所有的數值都在解集中。
知識點二：不等式的基本性質
基本性質1：如果a基本性質2：不等式的兩邊都加上(或減去)同乙個整式，不等號的方向不變。
基本性質3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同乙個正數，不等號的方向不變。
基本性質4：不等式的兩邊都乘上(或除以)同乙個負數，不等號的方向改變。
要點詮釋：
(1)不等式的基本性質1的學習與等式的性質的學習類似，可對比等式的性質掌握；
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