多目標規劃
以前面對的問題(單目標問題)
例8.1 某廠生產甲、乙兩種產品，需要用到abc三種裝置，關於產品的盈利與使用裝置的工時及限制如表所示。
問：應該如何安排甲、乙兩種產品的生產，才能使工廠在計畫期內總獲利最大？
線性規劃建模
maz z=200x1+300x2;
2x1+2x2<=12,
4x1<=16,
5x2<=15,
x1,x2>=0.
開啟檔案
model:
!單目標規劃問題;
sets:
col/1..2/:c,x;
row/1..3/:b;
matrix(row,col):a;
endsets
data:
c=200,300;
b=12,16,15;
a=2,2,4,0,0,5;
enddata
max=@sum(col:c*x);
@for(row(i):
@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));
end其常規模式如下
model:
[_1]max=200*x_1+300*x_2;
[_2]2*x_1+2*x_2<=12;
[_3]4*x_1<=16;
[_4]5*x_2<=15;
end求解結果
global optimal solution found.
objective value1500.000
total solver iterations1
variablevalue reduced cost
c( 1) 200.00000.000000
c( 2) 300.00000.000000
x( 1) 3.0000000.000000
x( 2) 3.0000000.000000
b( 1) 12.000000.000000
b( 2) 16.000000.000000
b( 3) 15.000000.000000
a( 1, 1) 2.0000000.000000
a( 1, 2) 2.0000000.000000
a( 2, 1) 4.0000000.000000
a( 2, 2) 0.0000000.000000
a( 3, 1) 0.0000000.000000
a( 3, 2) 5.0000000.000000
row slack or surplus dual price
1 1500.0001.000000
2 0.000000100.0000
3 4.0000000.000000
4 0.00000020.00000
即最優解
x1=3，x2=3，z*=1500.
新增問題(多目標問題)
p325
企業經營目標不僅僅是利潤，還要考慮多個方面，例如增加下列因素(目標)
(1) 力求使利潤指標不低於1500元；
(2) 考試到市場需求，甲、乙兩種產品的產量比應盡量保持1：2；
(3) 裝置a為貴重裝置，嚴格禁止超時使用；
(4) 裝置c可以適當加班，但要控制；裝置b即要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，裝置b是裝置c的3倍。
對於上述問題，僅用線性規劃方法是不夠的，需要借助於目標規劃的方法進行建模求解。
有時建立的線性規劃模型無解，從而有其侷限性。
克服這種侷限的手段如下：
1． 設定偏差變數
用偏差變數來表示實際值與目標值之間的差異，
令d+為超出目標的差值，稱為正偏差變數；
d-為未達到目標的差值，稱為負偏差變數.
其中d+與d-至少有乙個為0，
當實際值超過目標值時，有d-=0,d+>0;
當實際值未達到目標值時，有d+=0,d->0;
當實際值與目標值一致時，有d+=0,d-=0.
2． 統一處理目標與約束
目標規劃中有兩類約束：
一類是對資源有嚴格限制的，與線性規劃的處理相同，用嚴格的等式與不等式來處理，例如本例中：(3) 裝置a為貴重裝置，嚴格禁止超時使用為剛性約束：
2x1+2x2<=12.
另一類約束是可以不嚴格限制的，連同原線性規劃的目標，構成柔性約束：
例如：(1) 力求使利潤指標不低於1500元，則目標可以表示為：
min ;
200x1+300x2+d—-d+=1500.
解釋：由200x1+300x2=1500-d—+d+易理解(由前面單目標的結果知道目標值不大於1500，從而此處d+=0，當然，如果沒有事先求解單標目標規劃，這個結果是未知的，從而有d+>0的可能)
左邊為利潤值，盡量讓負偏差最小，而正偏差越大越好
(2) 甲、乙兩種產品的產量比應盡量保持1：2，則目標可以表示為：
min ;
2x1-x2+d—-d+=0.
(4) 裝置c可以適當加班，但要控制,則目標可以表示為：
min ;
5x2+d—-d+=15.
(4) 裝置b即要求充分利用，又盡可能不加班, 則目標可以表示為：
min ;
4x1+d—-d+=16.
(總結)從上面分析可以看出：
如果希望不等式保持大於等於，則極小化負偏差（正偏差越大越好）；
如果希望不等式保持小於等於，則極小化正偏差（負偏差越大越好）；
如果希望保持等式，則同時極小化正、負偏差.
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