一、知識點
1．橢圓的定義
在平面內與兩定點f1，f2的距離的和等於常數(大於|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合p＝，|f1f2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數：
(1)若a＞c，則集合p為橢圓；
(2)若a＝c，則集合p為線段；
(3)若a＜c，則集合p為空集．
2．橢圓的標準方程和幾何性質
二、例題講解
題型一橢圓的定義及其應用
【例1】(1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內一定點，m是圓周上一動點，把紙片摺疊使m與f重合，然後抹平紙片，摺痕為cd，設cd與om交於點p，則點p的軌跡是( )
a．橢圓 b．雙曲線 c．拋物線 d．圓
(2)已知f1，f2是橢圓＋＝1的兩焦點，過點f2的直線交橢圓於a，b兩點，在△af1b中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為( )
a．6 b．5 c．4 d．3
(3)與圓c1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓c2：(x－3)2＋y2＝81內切的動圓圓心p的軌跡方程為________．
題型二求橢圓的標準方程
【例2】 (1)在平面直角座標系xoy中，橢圓c的中心為原點，焦點f1，f2在x軸上，離心率為.過f1的直線l交c於a，b兩點，且△abf2的周長為16，那麼橢圓c的方程為________．
(2)已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點a(3,0)，並且以座標軸為對稱軸，則橢圓的標準方程為________．
題型三橢圓的幾何性質
【例3】(1)設橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1，f2，過f2作x軸的垂線與c相交於a，b兩點，f1b與y軸相交於點d，若ad⊥f1b，則橢圓c的離心率等於________．
(2)已知橢圓＋＝1的左頂點為a，左焦點為f，點p為該橢圓上任意一點；若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率e＝，則a·f的取值範圍是________．
題型四直線與橢圓的位置關係
【例4】已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為f(－2,0)，離心率為.
(1)求橢圓c的標準方程；
(2)設o為座標原點，t為直線x＝－3上一點，過f作tf的垂線交橢圓於p，q.當四邊形optq是平行四邊形時，求四邊形optq的面積．
【訓練4】 已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其中左焦點f(－2,0)．
(1)求橢圓c的方程；
(2)若直線y＝x＋m與橢圓c交於不同的兩點a，b，且線段ab的中點m在圓x2＋y2＝1上，求m的值．
三、課堂練習
1．設f1，f2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，p為橢圓上一點，m是f1p的中點，|om|＝3，則p點到橢圓左焦點的距離為( )
a．4 b．3 c．2 d．5
2．已知橢圓＋＝1的焦距為4，則m等於( )
a．4 b．8 c．4或8 d．以上均不對
3．已知中心在原點的橢圓c的右焦點為f(1,0)，離心率等於，則c的方程是( )
a. ＋＝1 b. ＋＝1 c. ＋＝1 d. ＋y2＝1
4．已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點為f1，f2，離心率為，過f2的直線l交c於a，b兩點．若△af1b的周長為4，則c的方程為( )
a. ＋＝1 b. ＋y2＝1 c. ＋＝1 d. ＋＝1
5．設f1，f2分別是橢圓e：＋＝1的左、右焦點，過f1的直線l與e相交於a，b兩點，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差數列，則|ab|＝( )
a. b．3 c. d．2
6．設橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為f1，f2，p是c上的點，pf2⊥f1f2，∠pf1f2＝30°，則c的離心率為( )
a. b. c. d.
7．已知橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為f，c與過原點的直線相交於a，b兩點，連線af，bf.若|ab|＝10，|bf|＝8，cos∠abf＝，則c的離心率為( )
a. b. c. d.
8．已知p為橢圓＋＝1上的一點，m，n分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|pm|＋|pn|的最小值為________．
9．已知橢圓＋＝1 (a>b>0)的離心率等於，其焦點分別為a，b，c為橢圓上異於長軸端點的任意一點，則在△abc中，的值等於________．
10．已知f1(－c,0)，f2(c,0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，p為橢圓上一點，且·＝c2，則此橢圓離心率的取值範圍是________．
11．設f1，f2分別是橢圓c：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點，m是c上一點且mf2與x軸垂直．直線mf1與c的另乙個交點為n.
(1)若直線mn的斜率為，求c的離心率；
(2)若直線mn在y軸上的截距為2，且|mn|＝5|f1n|，求a，b.
12．如圖，在平面直角座標系xoy中，f1，f2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，頂點b的座標為(0，b)，連線bf2並延長交橢圓於點a，過點a作x軸的垂線交橢圓於另一點c，連線f1c.
(1)若點c的座標為，且|bf2|＝，求橢圓的方程；
(2)若f1c⊥ab，求橢圓離心率e的值．
2019版第8章第5節橢圓
橢圓 基礎知識填充 1 橢圓的定義 1 平面內與兩個定點f1，f2的距離的和等於常數 大於 f1f2 的點的軌跡叫做橢圓 這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 2 集合p f1f2 2c，其中a，c為常數且a 0，c 0.當2a f1f2 即a c時，m點的軌跡為橢圓 當2a f1...
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