單位圓是中學裡面重要的學習內容，有些數學題，如果巧妙地構造單位圓作為求解和證明的橋梁，將原問題化歸為與單位圓的有關的問題，再利用數形結合思想，可以使其解答過程簡潔明朗，賞心悅目，顯示出用單位圓解題的獨特魅力。下面通過例題加以闡述.
一、求條件最值
例1若，則的取值範圍是（ ）
（第二十屆「希望盃」全國數學邀請賽高一第1試（第ⅱ類）第8題）
解：可化為.令，則為，變為.於是原問題化歸為：若，求的取值範圍.
由於直線經過的圓心，所以圓的點到直線的最大距離為圓的半徑1.又代數式表示點到直線的距離.所以，，故選擇答案
二、給值求角
例2：已知=，，求的值.
解：由cos=coscos知=
+=++=0……( * ).
設x=,y=,則（ * ）有實數解單位圓的圓心o到直線的距離整理得，從而，.把代入( * )得.
三、求複數模的最值
例3：已知複數,當複數z滿足|z|=1，求的最大值.
解： =,表示z對應的點a與對應的點b之間的距離，其中點a在單位圓上運動，點b的座標為(2，),數形結合易得的最大值為.
四、**性問題
例4：已知，能否以的值為邊長構成三角形？
解：如右圖構造圓，ac為圓的直徑，且ac=1，，則，且b,c,d三點不共線,
b,c,d三點可構成三角形.由正弦定理
知,,=.
故以的值為邊長能構成三角形.
五、應用題
例5：如圖，某地有三家工廠，分別位於矩形abcd的兩個頂點a，b及cd的中點p處．ab＝20km，bc＝10km．為了處理這三家工廠的汙水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與a，b等距的一點o處，建造乙個汙水處理廠，並鋪設三條排汙管道ao，bo，po．記鋪設管道的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立函式關係式：
（i）設（rad），將表示成的函式；
（ii）設（km），將表示成的函式
（2）請你選用（1）中的乙個函式關係確定汙水處理
廠的位置，使鋪設的汙水管道的總長度最短。
（2023年江蘇高考數學試題第17題）
解：（ⅰ）①由條件知pq 垂直平分ab，若∠bao= (rad) ，則, 故
，又op＝，
所以，所求函式關係式為
（2）選用(1)中的函式關係,來確定符合條件的汙水處理場的位置.因為,所以要求
的最小值,只需求出函式在上的最小值.
如右圖所示,式子的幾何意義表示
單位圓的劣弧ab:乙個動
點與定點所連直線的斜率.數形
結合,當直線pq與劣弧ab相切時,斜率最大.
在rt⊿opq中,由oq=1,op=2知.
所以當時,函式在上取最小值.
當時,ao=bo= (km).因此當汙水處理場建在矩形區域內且到a,b兩點的距離均為km時,鋪設的排汙管道總長度最短.
單位1的妙用
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妙用單位圓求解三角函式問題
陝西劉大鳴梁傑 引入單位圓中的三角函式線，為解決三角中的縮小角的範圍 解或證明三角不等式 推導三角公式 求值及研究方程根的問題等提供了有利的工具.正確使用單位圓 座標軸和象限角平分線，將直角座標平面分為八個區域，簡稱 八卦 如圖 各卦所在區上三角函式單調性和媒介值已知，利用三角函式線和八卦圖可簡捷的...
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