上一回說到，單位衝激函式是連續函式與離散函式之間相互轉換的橋梁，因此在工程技術尤其是it領域的訊號分析中有十分重要的妙用。
比如有許多不滿足絕對可積條件的訊號，應用單位衝激函式就可以求出其傅利葉變換，「化驗」出訊號包含的頻率成分。
我們已經知道單位衝激訊號的頻譜密度函式是常數1，則根據傅利葉變換的對稱性，有常數（直流訊號）f（t）＝1的傅利葉變換（頻譜密度函式）為
（1）可見單位衝激函式δ（t）與常數1構成乙個傅利葉變換對：
（2）推而廣之，再根據傅利葉變換的頻移性質，可知指數函式的頻譜為頻域的衝激函式
（3）再根據尤拉公式，可匯出正弦函式的傅利葉變換（頻譜）為離散頻譜：
（4）（5）
一般地，對於週期函式（傅利葉級數展開式的指數形式）
（6）利用衝激函式的特性也可求出其傅利葉變換為
（7）綜上所述，週期函式的傅利葉變換（頻譜密度函式），是位於週期函式各次諧波頻率nω1處的頻域衝激函式串，頻率間隔是週期函式的基頻ω1，衝激強度等於相應的傅利葉係數**的2π倍。
可見用頻域的衝激函式串來表示時域週期訊號的離散頻譜是非常方便的。通過引入衝激函式的概念，把傅利葉變換的適用範圍拓展到週期函式，則週期函式的離散頻譜都可以用衝激函式串方便地表示。
例：有脈幅為e、脈寬為τ、週期為t的週期矩形脈衝訊號ft（t），如下圖所示：
圖1 週期矩形脈衝的時域波形
求其離散頻譜。我們知道通過傅利葉級數的方法，求出其傅利葉係數為
（8）其中ω1＝2π/t為基頻。由式（7）可得週期矩形脈衝的頻譜密度函式為
（9）其離散頻譜圖如下圖所示：
圖2 週期矩形脈衝訊號的頻譜的衝激函式表示
單位衝激函式還有更大的妙用，且聽下回分解。
（作者：周法哲2009-7-16於廣東）
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