1.已知函式r .
（ⅰ）當時，求的單調區間;
（ⅱ）若在上的最小值為，求的值.
18．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）f (x)的定義域為｛x |｝……………1分.
…………3分
令，即，
∴的增區間為（0，14分
令，即，
∴的減區間為5分
（ⅱ）①當時，在上恆成立，
在恒為增函式. ……… 6分
，得 ……… 7分
②當時，令，得.
當時， 在上為減函式；
當時， 在上為增函式；
，得（舍）……… 10分
③當時，在上恆成立，
此時在恒為減函式.
，得 ………12分
綜上可知13分
2.已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在原點處的切線方程；
（ⅱ）求的單調區間；
（ⅲ）若在上存在最大值和最小值，求的取值範圍．19.（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：當時2分
由， 得曲線在原點處的切線方程是．…………3分（ⅱ）解4分
① 當時，．
所以在單調遞增，在單調遞減5分
當，．② 當時，令，得，，與的情況如下：
故的單調減區間是，；單調增區間是． ………7分③ 當時，與的情況如下：
所以的單調增區間是；單調減區間是，．
9分（ⅲ）解：由（ⅱ）得，時不合題意10分當時，由（ⅱ）得，在單調遞增，在單調遞減，所以在上存在最大值．設為的零點，易知，且．從而時，；時，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值範圍是．12分 當時，由（ⅱ）得，在單調遞減，在單調遞增，所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以時，若在上存在最大值和最小值，的取值範圍是．綜上，的取值範圍是14分
3. 已知函式．
（ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值；
（ⅱ）討論函式的單調性；
（ⅲ）當時，記函式的最小值為，求證：．
18. （本小題滿分14分）
解：（i）的定義域為.
.根據題意，有，所以，
解得或3分
（ii）.
（1）當時，因為，
由得，解得；
由得，解得.
所以函式在上單調遞增，在上單調遞減.
（2）當時，因為，
由得，解得；
由得，解得.
所以函式在上單調遞減，在上單調遞增9分
（iii）由（ⅱ）知，當時，函式的最小值為，且.，
令，得.
當變化時，，的變化情況如下表：
是在上的唯一極值點，且是極大值點，從而也是的最大值點.
所以所以，當時，成立14分
4．已知函式，其中為常數.
（ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程;
（ii）求函式的單調區間.
18．解：（i）當時，
當時，，
所以曲線在點處的切線方程，
即4分（ii）的定義域為，則5分
………………………7分
（1）當時， ，，則
或，，則
故的增區間為，
減區間為10分
（2）當時， ，，則
，，則或
故的增區間為，
減區間為13分
5.設函式．
（ⅰ）當時，求函式的最小值；
（ⅱ）證明：對x1，x2∈r+，都有；
（ⅲ）若，證明： ．
20．解：（ⅰ）時，，()，
則．令，得．
當時，，在是減函式，
當時，，在是增函式，
所以在時取得最小值，即4分
（ⅱ）因為，
所以．所以當時，函式有最小值．
x1，x2∈r+，不妨設，則
8分（ⅲ）（證法一）數學歸納法
ⅰ)當時，由（ⅱ）知命題成立．
ⅱ）假設當( k∈n*)時命題成立，
即若，則．
當時，，，…，，滿足．
設，由（ⅱ）得==．
由假設可得，命題成立．
所以當時命題成立．
由ⅰ)，ⅱ）可知，對一切正整數n∈n*，命題都成立，所以若，則13分
（證法二）若，
那麼由（ⅱ）可得
．……13分
6.已知函式（）．
（ⅰ）試討論在區間上的單調性；
（ⅱ）當時，曲線上總存在相異兩點，，使得曲線在點，處的切線互相平行，求證：.
（19）（共13分）
（ⅰ）解：由已知，. ………2分
由，得4分
因為，所以,且．
所以在區間上，；在區間上，.
故在上單調遞減，在上單調遞增6分
（ⅱ）證明：由題意可得，當時，（，且）.
即，所以8分
因為，且，所以恆成立，
所以，又，
所以，整理得11分
令，因為，所以在上單調遞減，
所以在上的最大值為，
所以13分
(19)（本小題滿分14分）
已知函式.
（ⅰ）求的單調區間；
（ⅱ）若，求證：函式只有乙個零點，且；
（ⅲ）當時，記函式的零點為，若對任意且都有成立，求實數的最大值.
（本題可參考資料：）
(19)（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：的定義域為.
1分令，或
當時，，函式與隨的變化情況如下表：
所以，函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.
3分當時，. 所以，函式的單調遞減區間是.
4分當時，，函式與隨的變化情況如下表：
所以，函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.
5分（ⅱ）證明：當時，由（ⅰ）知，的極小值為，極大值為.
因為，，且在上是減函式，
所以至多有乙個零點7分
又因為，
所以函式只有乙個零點，且.
9分（ⅲ）解：因為，
所以對任意且由(ⅱ)可知：，，且10分
因為函式在上是增函式，在上是減函式，
所以11分
所以.當時， =>0.
所以13分
所以的最小值為.
所以使得恆成立的的最大值為.14分
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