2023年北京聯合大學第四屆數學建模競賽
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日期： 2014 年 5 月 7 日
leslie模型分析海龜種群繁殖增長規律
摘要本文主要分析海龜種群繁殖問題，在分析了解海龜種群繁殖的規律的基礎上通過計算分析**海龜種群數量未來的發展趨勢。首先，根據海龜種群不同繁殖階段和生長型別，利用差分方程組思想，建立相應數學模型，描述海龜種群各階段繁殖變化規律。
考慮到海龜不同階段的數量、海龜的自然死亡以及所處環境等的約束條件，通過建立leslie模型分析海龜種群各個階段的繁殖規律，發現海龜種群不同階段數量差異較大，其中幼年期數量最多，初次繁殖、第一年遷徙並繁殖數量很少。其數量多少也與其所在不同生長階段持續時間長短有關係。
最後，通過數學歸納法，統計分析海龜種群不同時段的繁殖規律，進一步判斷是否需要通過人工方法使海龜種群能夠合理的繁殖下去。得出結論：海龜種群數量逐漸減少，最終在大約270年左右種群滅亡。
考慮到自然界的生物多樣性，從保持生態平衡的角度出發，需要對該海龜物種進行人工培養，科學地管理。
關鍵字：種群繁殖規律；差分方程；leslie模型；matlab；歸納法
1 問題簡述與分析
1.1問題簡述
j. i. richardson 經過為期20年的觀察，記錄了美國喬治亞州小坎伯蘭島的海龜生態學資料，n.
b frazer 在此基礎上，製作出乙個年齡細分的生命統計表．我們將 frazer 加工後的海龜種群資料再簡化為七個階段：（1）第一年（海龜卵和雛龜），（2）幼年期，（3）青年期，（4）初級成熟期，（5）初次繁殖，（6）第一年遷徙並繁殖，和（7）成熟繁殖期．表 1 給出了海龜型別以及在每一階段的年存活率和年繁殖量。
表1 基於 frazer 資料的海龜種群階段生命統計表
（1） 建立數學模型描述海龜種群各階段繁殖變化規律．
（2） **該海龜種群未來將繼續繁衍，還是會在不久的將來慢慢消亡？
1.2 問題分析
這是乙個根據海龜種群各階段生命特徵，總結其不同生長階段繁殖規律，進而**種群未來存亡問題。
2 資料處理
簡化資料，將**中資料簡化如表2：
表2海龜種群階段生命統計簡表
3 模型建立
3.1模型假設
(1) 假設種群通過雌性個體的繁殖而增長，所以用雌性個體數量的變化為研究物件；
(2) 假設種群的繁殖率和死亡率不隨時段變化，只於年齡組有關；
(3) 假設海龜成熟繁殖期的持續時間為30年。
3.2模型建立
3.2.1海龜種群各階段繁殖變化規律的數學模型
將海龜按生長期不同階段分成n=7個年齡組。與之相對應，時間也分成與年齡組區間大小相等的時段，記時段k第i年齡組的種群數量為
種群數量的變化規律由2個基本關係得到：
時段k+1第1年齡組的數量是各年齡組在時段k的繁殖數量之和；
時段k+1第i+1年齡組（i=1，2，…，n-1）的數量是時間段k第i年齡組存活下來的數量。由此得到：
1）2）
（1），（2）是差分方程組。記種群數量在時段k按年齡組的分布向量為：
3）假設di表示第i個階段的持續時間，表示該階段的每年存活率，那麼可以證明，在第i階段可以存活到下一年的比例是：
4）種群可以存活且在次年進入下一階段的比例是：
5）記表示第i階段的成員1年內產卵的平均數，則構造矩陣：
公式(1)、(2)可以表示為：
當矩陣l和按年齡組的初始分布已知時，可以**種群數量在時段k按年齡組的分布為：
8）那麼l可以用來**未來幾年每階段的種群數。由（3）、（6）、（7）給出的模型稱為leslie模型。
3.2.2leslie模型的穩態分析
利用所得leslie模型的穩態分析研究時間充分長以後（即k→），種群的年齡結構和數量的變化。
首先，不加證明的敘述關於l矩陣的兩個定理。
定理1l矩陣有唯一的單重正特徵根λ1和正特徵向量
9）其他特徵根λk滿足10）
該定理表明，l矩陣的特徵方程
11）只有乙個正單根λ1，且同意驗證公式
定理2若l矩陣第1行有2個順次的，大於0，則定理1（10）式中僅不等號成立，且（8）式表示的x（k）滿足
12）其中c是由，和x（0）決定的常數。
對於leslie模型，定理2的條件通常是成立的，由此可對k充分大以後種群的年齡結構和數量x（k）做出如下分析（為方便起見λ1以下記作λ）：
1） 由（12）式直接有
13）表明種群的年齡結構趨向穩定，各年齡組的數量佔總量的比例與（9）的特徵向量一致故可稱為穩定分布，它與初始分布無關
2） 由（13）式又有
14）即
15）表明種群年齡組的數量也趨向穩定，都是上時段同一年齡組的λ倍。顯然λ>1時種群各年齡組的數量遞增，λ<1時遞減，λ稱為固有增長率。
3.3問題求解
3.3.1海龜種群各階段繁殖變化規律
根據**中資料，我們得到模型的leslie矩陣是：
假設每階段的初始種群數分別是=200000， =300000， =25000， =20000， =1000， =500， =5000，用向量x0來表示，1年後每階段的種群數可以如下計算：
為了得到2年後的種群數，再用矩陣l乘一次。
由此可知，k年後的種群數由公式給出
即為所求海龜種群各階段繁殖變化規律數學模型。
3.3.2海龜種群數量未來發展趨勢問題求解
根據所建數學模型代入資料即可得：
利用matlab軟體求得特徵根λ=0.9450<1，
只有乙個正單根，且同意驗證公式。
所以，初步**，該海龜種群數量可能呈遞減狀態發展。
3.3.3歸納法研究海龜種群數量未來發展趨勢
分別計算出k=10,20,……,100時，海龜種群各階段數量，得到如下**：
表3海龜種群階段10年間隔數量變化表
由表3中資料分析可知，在100年內海龜種群數量逐漸減少。進而推斷，該種群將會滅亡。
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