導數的引入為解決有關函式問題提供了廣闊的思路，利用導數解決一些實際問題是函式內容的繼續延伸，使解決問題的方法變得簡化，逐漸成為高考的一熱點，下面對導數在實際應用四類題型作簡單的分析：
一、與容積（體積）有關的實際問題：
例1、如圖所示，在邊長為60的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成乙個無蓋的長方體箱子，則箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積式多少？
分析：可設箱高為，然後表達體積關於的函式，再求最值。
解：設箱的高為，則箱底邊長為，則箱子容積關於箱高的函式關係式為：，
∴，令，得或（捨去），
當時，；當時，，
∴當時，取得最大值。
此時，箱底邊長為，箱子的容積為，
即當箱子的高為，箱底邊長為時，箱子容積最大，最大容積為。
點評：在實際問題中，若能判定函式在定義域開區間內有唯一的極值點時，那麼可以判定這個極值點的函式值就是最大（小）值。
二、與生產利潤有關的實際問題：
例2、某工廠生產某種產品，已知該產品的年生產量與每噸產品的**（元/噸）之間的函式關係式為，且生產的成本為（元），問該廠每年生產多少噸產品才能使利潤達到最大？最大利潤為多少？
分析：解本題的關鍵是利用「利潤=收入－成本」這一等量關係，建立目標函式，注意確定函式定義域，然後利用導數求最值。
解：設每年生產時的利潤為，
則，令，解得（捨去），
∵在內只有乙個點，使，且，
∴當時，函式有最大值（元），
即該廠每年生產200噸產品才能利潤達到最大，最大利潤元。
點評：解決本題的關鍵在於設出變數，建立函式關係式，確定函式的定義域，在利用導數求解函式的最值，體現了導數在函式中的應用。
三、與建築用料有關的實際應用：
例3、某單位用木料製作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為（單位：）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為，問分別為多少時用料最省？（精確到0.001）
分析：解答本題可先利用面積為，找出的關係，再列用料的函式關係式求最值。
解：由題意，得，∴ ，
於是框架用料長度為，
令，即，
解得（捨去），
當時，；當時，，
∴當時，取得最小值，此時，，
即當為，為時，用料最省。
點評：本題中有兩個變數，應注意利用題目中的條件尋求兩個變數的關鍵進行消元，變為只含乙個變數的函式，消元過程中應特別注意挖掘變數的範圍及實際問題中變數的範圍。
四、與現實相關的實際問題：
例4、兩縣城a和b相聚20km，現計畫在兩縣城外以ab為直徑的半圓弧上選擇一點c建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城a和城b的總影響度為城a與城b的影響度之和，記c點到城a的距離為x km，建在c處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度為y,統計調查表明：垃圾處理廠對城a的影響度與所選地點到城a的距離的平方成反比，比例係數為4；對城b的影響度與所選地點到城b的距離的平方成反比，比例係數為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對稱a和城b的總影響度為0.0065.
（1）將y表示成x的函式；
（11）討論（1）中函式的單調性，並判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城a和城b的總影響度最小？若存在，求出該點到城a的距離，若不存在，說明理由。
分析：根據題意，利用三角形勾股定理建立函式關係，利用導數求最值
解：（1）如右圖,由題意知ac⊥bc, ,，
當垃圾處理廠建在弧ab的中點時,垃圾處理廠到a、b的距離都相等，
且為，所以有，
解得，∴
（2）∵==，
令，得，解得，即，
又因為，所以函式在上是減函式，
在上是增函式，∴當時，y取得最小值，
所以在弧ab上存在一點，且此點到城市a的距離為，使建在此處的垃圾
處理廠對城市a、b的總影響度最小.
點評：本題以實際應用題為背景,從實際問題中抽象出數學模型,在第(2)問中,求函式取最大值時的x的值時,又考查了利用導數研究函式的單調性、最值以及運算能力.
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