導數應用常見錯解剖析

一、對導數的定義理解不透徹

例1．已知函式，則等於（）。a. b. c. d.

錯解：由，得原式，從而答案應選a.

剖析：導數的定義式表示函式在處的導數，即函式在處的函式值的增量與自變數的增量的比值在自變數的增量趨近於時的極限，分子與分母中變數增量必須保持一致。

正解：，即應選c。

二、對導數的幾何意義理解有誤

例2．求曲線過點的切線方程。

錯解：因點在曲線上，所以過點的切線斜率，所以過點的切線方程是，即。

剖析：導數的幾何意義是：函式在處的導數是曲線在點處的切線的斜率。解題過程遺漏了切線方程。原因是把過點的切線理解成在點處的切線，認為切線是和曲線僅有乙個公共點的直線。

正解：設切點為，則過點處的切線方程是，因為在直線上，所以①，又因為在曲線上，所以②，由①②得，或。當時，點座標為，此時切線方程是；當時，點座標為，此時切線方程是；所以過點的曲線的切線方程是或。

三、對導數為的點與極值點的關係理解不清

例3.已知函式在處有極值為，求的解析式。

錯解：對求導得，由題意可知

，得或，所以或。

剖析：上面解法認為導數為的點就是極值點。而導數的極值點要求不僅導數要為，而且要求在導數為的點左右兩邊單調性要相反，即它兩側導數異號才可能是極值點。

事實上，函式在處可導，則是在處取得極值的必要不充分條件。

正解：當求出係數後，需要對函式的解析式進行驗證。當時，，可以看出在的兩側不是異號，從而不是的極值點。而當則滿足要求。

四、導數與函式的單調性的關係理解不清

例4.已知函式在實數集上是增函式，求實數的取值範圍。

錯解：求原函式的導數為，由於為增函式，所以對任意的時，恆成立。從而

，得。剖析：本題誤認為與函式是增函式是充要條件的關係。

事實上，「（或）」是「函式是單調遞增（或遞減）」的充分不必要條件。「可導函式在內單調遞增（或遞減）」的充要條件是「（或），且在內的任一子區間內不恆等於零。

正解：由於，根據題意可知當時，必有恆成立。所以，即

五、極值與最值的的概念理解不清

例5.求函式在上的最大值與最小值。

錯解：由於，解方程，得，，經驗證和都為極值點，且為極大值，為極小值。所以函式的最大值為，最小值為。

剖析：函式極值的定義是：在包含的乙個區間內，函式在任何一點的函式值都小於（大於）點的函式值，稱為函式的極大（小）值。

而函式的最值的定義是：函式在區間上所有點的函式值都不超過（不小於），則稱為函式在區間上的最大（小）值。即極值只是在某一點附近的最值，而這個極值在整個定義區間上並非一定是最值，因為還可能要考慮區間端點的值。

正解：首先求導數，解方程，得，。根據，列表，分析的符號和函式的單調性。

計算函式在極大值點、極小值點、區間端點和處的值。，，，，比較這四個數的大小可知：函式在上的最大值為，最小值為。

六、求導公式與法則的運用錯誤

例6.已知函式，求導函式。

錯解：剖析：復合函式的求導方法是：對復合函式由外層向內層逐層求導，每次求導都是針對外層，直到求到最裡層為止。解題過程中沒有求導到最裡層

正解：以上列舉的是導數應用時比較常見的錯誤，其它的錯誤還有：求函式的極值或最值沒有考慮函式的不可導點、可導與連續的關係不清、沒有考慮原函式的定義域導致的錯誤、導函式與原函式圖象的關係理解不清等。在導數運用的過程中，應盡量避免上述出現的錯誤。