第1講多位數的運算
多位數的運算，涉及利用＝10k-1，提出公因數，遞推等方法求解問題．
一、＝10k-1的運用
在多位數運算中，我們往往運用＝10k-1來轉化問題；
如：×59049
我們把轉化為÷3，
於是原式為×59049=（÷3）×59049=×59049=（-1）×19683=19683×-19683
而對於多位數的減法，我們可以列個豎式來求解；
+1如：，於是為．
簡便計算多位數的減法，我們改寫這個多位數．
原式=×2×3×3×
=×2×3×
=×（-1）
=×-=,於是為.
2．計算－=a×a，求a．
【分析與解】 此題的顯著特徵是式子都含有，從而找出突破口.
－=－1）3×3）=a2
所以，a＝.
3．計算××25的乘積數字和是多少?
【分析與解】我們還是利用=來簡便計算，但是不同於上式的是不易得出湊成，於是我們就創造條件使用：
××251]×25
1]×25
=××[2×-2]×[2×（）+1]×25
=×[4×-2×-2]
=×-×
=100×-50×
= (求差過程詳見評注)
=所以原式的乘積為
那麼原式乘積的數字和為1×2004+5×2004=12024．
評注：對於的計算，我們再詳細的說一說．==
==4．計算的積?
【分析與解】 我們先還是同上例來湊成；＝＝
＝＝＝(求差過程詳見評注)
我們知道能被9整除，商為：049382716．
又知1997個4，9個數一組，共221組，還剩下8個4，則這樣數字和為8×4=32,加上後面的3，則數字和為35，於是再加上2個5，數字和為45，可以被9整除．
能被9整除，商為04938271595；
我們知道能被9整除，商為：061728395；
這樣9個數一組，共221組，剩下的1995個5還剩下6個5，而6個5和1個、6，數字和36，可以被9整除．
能被9整除，商為0617284．
於是，最終的商為：
評注：對於-計算，我們再詳細的說一說．
-＝+1-
＝+1＝.
二、提出公因式
有時涉及乘除的多位數運算時，我們往往需提出公因式再進行運算，並且往往公因式也是和式或者差式等．
5.計算：（1998+19981998+199819981998+…）÷（1999+19991999+199919991999…）×1999
【分析與解】＝1998×
原式＝1998（1+10001+100010001+…）÷［1999×（1+10001+100010001+…）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.
6．試求1993×123×999999乘積的數字和為多少?
【分析與解】 我們可以先求出1993×123的乘積，再計算與(1000000—1)的乘積，但是1993×123還是有點繁瑣．
設1993×123=m，則(1000×123＝)123000令m＝
則m×999999＝m×（1000000-1）＝1000000m-m
＝-＝+1－
＝+1＝
那麼這個數的數字和為：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．
所以原式的計算結果的數字和為54．
評注：m×的數字和為9×k．(其中m的位數為x，且x≤k)．
7．試求9×99×9999×99999999×…×××乘積的數字和為多少?
【分析與解】 通過上題的計算，由：
設9×99×9999×99999999×…×××＝m，
於是m×類似的情況，於是，確定好m的位數即可；
注意到9×99×9999×99999999×…××＝m，
則m<10×100×100013×100000000×…××＝
其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；
即m<，即m最多為1023位數，所以滿足的使用條件，那麼m與乘積的數字和為1024×9=10240—1024=9216．
原式的乘積數字和為9216．
三、遞推法的運用
有時候，對於多位數運算，我們甚至可以使用遞推的方法來求解，也就是通常的找規律的方法．
8．我們定義完全平方數a2=a×a，即乙個數乘以自身得到的數為完全平方數；已知：1234567654321×49是乙個完全平方數，求它是誰的平方?
【分析與解】 我們不易直接求解，但是其數字有明顯的規律，於是我們採用遞推(找規律)的方法來求解：
121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……
於是，我們歸納為1234…n…4321=（）2
所以，1234567654321：11111112；則，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，題中原式乘積為7777777的平方．
評注：以上歸納的公式1234…n…4321＝（）2，只有在n<10時成立．
9.①=a2，求a為多少?
②求是否存在乙個完全平方數，它的數字和為2005？
【分析與解】 方法一：問題①直接求解有點難度，但是其數字有明顯的規律，於是我們採用遞推(找規律)的方法來求解：
①注意到有可以看成，其中n＝2004；
尋找規律：當n=1時，有49=72；
當n=2時，有4489=672；
當n=3時，有444889=6672；
於是，類推有=
方法二：下面給出嚴格計算：
=++1；
則++1＝×（4×+8）+1
＝×［4×（+1）+8］+1
＝×［4×（）+12］+1
＝（）2×36+12×+1
＝（）2×62+2×（6×）+1
＝（）2
②由①知＝，於是數字和為(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；
於是，n=167，所以=，所以存在，並且為.
10．計算×9×的乘積是多少?
【分析與解】採用遞推的方法6×9×3=162；
66×9×33=19602；
666×9×333=1996002；
於是，猜想×9×=
9×=評注：我們與題l對比，發現題1為×9×3×使用遞推的方法就有障礙, =10k—l這種方法適用面要廣泛一點．
練習1．設n=×9×，則n的各位數字之和為多少?
練習2．乘積×的積是多少?各位數字之和又是多少?
練習3．試求×的各位數字之和是多少?
第2講計算綜合（一）
繁分數的運算，涉及分數與小數的定義新運算問題，綜合性較強的計算問題．
1．繁分數的運算必須注意多級分數的處理，如下所示：
甚至可以簡單地說：「先算短分數線的，後算長分數線的」．找到最長的分數線，將其上視為分子，其下視為分母．
2．一般情況下進行分數的乘、除運算使用真分數或假分數，而不使用帶分數．所以需將帶分數化為假分數．
3．某些時候將分數線視為除號，可使繁分數的運算更加直觀．
4．對於定義新運算，我們只需按題中的定義進行運算即可．
5．本講要求大家對分數運算有很好的掌握，可參閱《思維導引詳解》五年級
[第1講迴圈小數與分數]．
1．計算：
【分析與解】原式=
2．計算：
【分析與解】 注意，作為被除數的這個繁分數的分子、分母均含有．於是，我們想到改變運算順序，如果分子與分母在後的兩個數字的運算結果一致，那麼作為被除數的這個繁分數的值為1；如果不一致，也不會增加我們的計算量．所以我們決定改變作為被除數的繁分數的運算順序．
而作為除數的繁分數，我們注意兩個加數的分母相似，於是統一通分為1995×0.5．
具體過程如下：
原式==
===3．計算：
【分析與解】原式===
4．計算：已知=，則x等於多少?
【分析與解】方法一：
交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．
方法二：有，所以；所以，那麼1.25．
5．求這10個數的和．
【分析與解】方法一：
*****.
方法二：先計算這10個數的個位數字和為；
再計算這10個數的十位數字和為4×9=36，加上個位的進製的3，為；
再計算這10個數的百位數字和為4×8=32，加上十位的進製的3，為；
再計算這10個數的千位數字和為4×7=28，加上百位的進製的3，為；
再計算這10個數的萬位數字和為4×6=24，加上千位的進製的3，為；
再計算這10個數的十萬位數字和為4×5=20，加上萬位的進製的2，為；
再計算這10個數的百萬位數字和為4×4=16，加上十萬位的進製的2，為；
再計算這10個數的千萬位數字和為4×3=12，加上百萬位的進製的1，為；
再計算這10個數的億位數字和為4×2=8，加上千萬位的進製的1，為；
最後計算這10個數的十億位數字和為4×1=4，加上億位上沒有進製，即為．
所以，這10個數的和為4938271591．
6.如圖1-1，每一線段的端點上兩數之和算作線段的長度，那麼圖中6條線段的長度之和是多少?
【分析與解】 因為每個端點均有三條線段通過，所以這6條線段的長度之和為：
7.我們規定，符號「○」表示選擇兩數中較大數的運算，例如：3．5○2.
9=2.9○3.5=3.
5．符號「△」表示選擇兩數中較小數的運算，例如：3.5△2.
9=2.9△3.5=2.
9．請計算：
【分析與解】原式
8．規定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果，那麼方框內應填的數是多少?
小學奧數知識點及公式總匯
1 和差倍問題2 2 年齡問題的三個基本特徵 3 歸一問題的基本特點 4 植樹問題 5 雞兔同籠問題 6 盈虧問題3 7 牛吃草問題 8 週期迴圈與數表規律 9 平均數 10 抽屜原理4 11 定義新運算 12 數列求和 13 二進位制及其應用5 14 加法乘法原理和幾何計數 15 質數與合數6 1...
小學奧數知識點及公式總匯
1 和差倍問題2 2 年齡問題的三個基本特徵 3 歸一問題的基本特點 4 植樹問題 5 雞兔同籠問題 6 盈虧問題3 7 牛吃草問題 8 週期迴圈與數表規律 9 平均數 10 抽屜原理4 11 定義新運算 12 數列求和 13 二進位制及其應用5 14 加法乘法原理和幾何計數 15 質數與合數6 1...
小學奧數知識點及公式總匯
1 和差倍問題2 2 年齡問題的三個基本特徵 3 歸一問題的基本特點 4 植樹問題 5 雞兔同籠問題 6 盈虧問題3 7 牛吃草問題 8 週期迴圈與數表規律 9 平均數 10 抽屜原理4 11 定義新運算 12 數列求和 13 二進位制及其應用5 14 加法乘法原理和幾何計數 15 質數與合數6 1...