數學學科2014.3.31
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．
1． 已知集合，則 ▲ ．
2． 某學校有8個社團，甲、乙兩位同學各自參加其中乙個社團，且他倆參加各個社團的可能性相同，則這兩位同學參加同乙個社團的概率為 ▲ ．
3． 複數（其中i為虛數單位）的模為 ▲ ．
4．從編號為0，1，2，…，79的80件產品中，採用系統抽樣的
方法抽取容量是5的樣本，若編號為28的產品在樣本中，則
該樣本中產品的最大編號為 ▲ ．
5． 根據如圖所示的偽**，最後輸出的的值為 ▲ ．
6． 若，則a的取值範圍是 ▲ ．
7．若函式為奇函式，其圖象的一條切線方程為，則b的值為 ▲ ．
8. 設l，m表示直線，m是平面內的任意一條直線．則「」是「」成立的 ▲ 條件．
（在「充分不必要」、「必要不充分」、「充要」、「既不充分又不必要」中選填乙個）
9． 在平面直角座標系xoy中，設是半圓：（）上一點，直線的傾斜角為45°，過點作軸的垂線，垂足為，過作的平行線交半圓於點，則直線的方程是 ▲ ．
10．在△abc中，d是bc的中點，ad＝8，bc＝20，則的值為 ▲ ．
11．設x，y，z是實數，9x，12y，15z成等比數列，且，，成等差數列，則的值是 ▲ ．
12．設是函式的乙個零點，則函式在區間內所有極值點之和為
▲ ．
13． 若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0對任意恆成立，則實數x的值為 ▲ ．
14．設實數a，b，c滿足a2＋b2 ≤c≤1，則a＋b＋c的最小值為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答. 解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
在△abc中，已知．求：
（1）ab的值；
（2）的值．
16．（本小題滿分14分）
在四稜錐p－abcd中，ab∥dc，ab⊥平面pad， pd＝ad，ab＝2dc，e是pb的中點．
求證：（1）ce∥平面pad；
（2）平面pbc⊥平面pab．
17．（本小題滿分14分）
為了淨化空氣，某科研單位根據實驗得出，在一定範圍內，每噴灑1個單位的淨化劑，空氣中
釋放的濃度y（單位：毫克/立方公尺）隨著時間(單位：天)變化的函式關係式近似為
若多次噴灑，則某一時刻空氣中的淨化劑濃度為每次投放的淨化劑在相應時刻所釋放的濃度之
和．由實驗知,當空氣中淨化劑的濃度不低於4(毫克/立方公尺)時，它才能起到淨化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個單位的淨化劑，則淨化時間可達幾天?
（2）若第一次噴灑2個單位的淨化劑，6天後再噴灑a（）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續有效淨化，試求的最小值（精確到0.1，參考資料：取1.4）．
18．（本小題滿分16分）
在平面直角座標系xoy中，設曲線c1：所圍成的封閉圖形的面積為
，曲線c1上的點到原點o的最短距離為．以曲線c1與座標軸的交點為頂點的橢圓記
為c2．
（1）求橢圓c2的標準方程；
（2）設ab是過橢圓c2中心o的任意弦，l是線段ab的垂直平分線．m是l上的點（與o不
重合）．
①若mo＝2oa，當點a在橢圓c2上運動時，求點m的軌跡方程；
②若m是l與橢圓c2的交點，求△amb的面積的最小值．
19．(本小題滿分16分)
設數列的首項不為零，前n項和為sn，且對任意的r，tn*，都有．
（1）求數列的通項公式（用a1表示）；
（2）設a1=1，b1=3，，求證：數列為等比數列；
（3）在（2）的條件下，求．
20．(本小題滿分16分)
設函式，其圖象與軸交於，兩點，且x1＜x2．
（1）求的取值範圍；
（2）證明：（為函式的導函式）；
（3）設點c在函式的圖象上，且△abc為等腰直角三角形，記，求
的值．南通市2014屆高三第二次調研測試
數學ⅱ（附加題）
21a．選修4—1：幾何證明選講
如圖，△abc內接於圓o，d為弦bc上一點，過d作直線dp//ac，交ab於點e，交圓o
在a點處的切線於點p．求證：△pae∽△bde．
21b．選修4—2：矩陣與變換
已知二階矩陣m有特徵值及對應的乙個特徵向量，且m＝．求矩陣m．
21c．選修4—4：座標系與引數方程
在平面直角座標系xoy中，設動點p，q都在曲線c：（θ為引數）上，且這兩
點對應的引數分別為θ＝α與θ＝2α(0＜α＜2π)，設pq的中點m與定點a(1，0)間的距離為d，
求d的取值範圍．
21d．選修4—5：不等式選講
已知： r．
求證：．
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應
寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
22.（本小題滿分10分）
在長方體abcd—a1b1c1d1中，，點e是稜ab上一點．且．
（1）證明：；
（2）若二面角d1—ec—d的大小為，求的值．
23.（本小題滿分10分）
設數列共有n（）項，且，對每個i (1≤i≤，in)，均有
．（1）當時，寫出滿足條件的所有數列（不必寫出過程）；
（2）當時，求滿足條件的數列的個數．
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