即 y=．
可見轉化成分數是，在此基礎上給出混迴圈小數化為分數的一般方法是不困難的．請老師們引導學生自己去歸納．
二、任意兩個有理數之和、差、積、商仍為有理數
證明：因有理數都可以表示成兩個整數的比的形式，故不妨設，， 其中m，n，k，l均為整數，且(m，n)=1，(k，l)=1，於是．
由於m，n，k，l均為整數，因此nk＋ml與mk均為整數，故必為有理數，故為有理數
對於兩個有理數之差、積、商仍為有理數，可以用類似方法證明，這裡從略．
三、 任意兩個有理數之間都存在著無窮多個有理數
證明：假設任意兩個有理數a、b,設a＜b，它們之間僅有有限個有理數，不妨設僅有n個有理數，這n個有理數按從小到大的順序排列依次是a＜c1＜c2＜c3＜c4＜…＜cn＜b．
由於任意兩個有理數之和與積仍是有理數，因此當cn是有理數，b是有理數時，也是有理數，而且a＜cn＜＜b．
即在有理數a與b之間找到了另外乙個不同於c1＜c2＜c3＜c4＜…＜cn的第n＋1個有理數，而這正好與假設矛盾．
因此，任意兩個有理數之間都存在著無窮多個有理數．
四、按要求，數正方形
1． 在圖1中，所有正方形的個數是多少？
思路分析：要把圖中的正方形數清楚，顯然以邊長的不同數值來分類進行統計要方便一些．
解：圖1中，設邊長最小的正方形的邊長為1，則邊長為1的正方形共有42＝16個；邊長為2的正方形共有32＝9個；邊長為3的正方形共有22＝4個；邊長為4的正方形僅有12＝1個．
於是圖1中所有正方形，一共有12＋22＋32＋42＝30個．
2． 在圖2中，以圖中各點為頂點一共能畫出多少個正方形？
思路分析：本題與第1題相比，略有不同．在本題中，除了第1題所涉及到的正方形之外，還有邊長為、、、2等幾種新的情形．
解：由1可知，邊長為1的正方形共有42＝16個；邊長為2的正方形共有32＝9個；邊長為3的正方形共有22＝4個；邊長為4的正方形有12＝1個．
此外，還有邊長為的正方形共有32＝9個，如圖3所示；邊長為的正方形共有2×22＝8個，如圖4所示；邊長為的正方形共有2個，如圖5所示；邊長為2的正方形1個，如圖6所示．
故圖2中所有滿足條件的正方形一共有30＋9＋8＋2＋1＝50個．
特別提醒：這裡的兩個問題從本質上說並不難，但是對初一的學生來說，要能夠把其中所有的正方形都按要求一一數清楚，可不是一件容易的事．因此，老師需要引導學生按「類」去數每個圖中可能有的正方形．這樣做的目的在於逐漸滲透「分類討論的數學思想」，為學生的後續學習作鋪墊．
至於問題討論過程中可能涉及到的、、、2等數，可以根據學生的實際可能來處理，只要學生能認識它們是一些正方形的邊長即可，不必在此向學生介紹這些無理數．
五、關於「負負得正」乘法運算法則
「為什麼負負得正」要從初等數學的角度給學生講清楚，是一件非常不容易的事情．可以參考《中學數學教學參考》2023年第3期p3－p4的《「負負得正」的乘法法則可以證明嗎？》一文，文中最後指出：「綜上所述，筆者認為，『負負得正』的乘法法則是數學中的一種規定（定義），它不能通過邏輯證明得出．然而，對這個法則的規定既有客觀世界中的實際背景，又有數學內部需要和諧發展的思想背景．教學中適當地介紹這些背景，可以幫助學生認識乘法法則的由來與合理性，但是不能將這樣做認為是證明了這個法則．」此外，如果能夠參閱浙江大學出版社出版、沈鋼編著的《高觀點下的初等數學概念》一書的第一章、第二章的相關內容，也許你還能獲得一些新觀點．
我們認為這個問題對初一的學生來說，只要學生能夠理解一些具體例項，並能認可「負負得正」即可，不必再做過多的講解或過高的要求．下面引用乙個有實際背景的例子，讓學生體會一下「負負得正」的實際背景．
如果水位一直以每小時2cm的速度下降，現在的水位在水文標尺刻度的a處，試問3小時前水位在水文標尺刻度的什麼位置？
為了區分水位變化的方向，我們可以規定水位上公升為正，下降為負；為了區分時間，我們規定現在以後為正，現在以前為負．顯然3小時以前水位在水文標尺刻度的a處上方6cm處，於是有（－2）×（－3）=＋6．
這雖然是乙個「有實際背景的原型」，的確有助於學生理解「負負得正」的乘法法則，但絕對不能就此認為這是對「負負得正」的證明．因為數學中的證明不是個例的驗證，是需要依據已有的公理、定理、定義等進行合乎邏輯的推證的．
六、「科學記數法」 課題引入的設計
（一）快速記憶遊戲
目的：激發學生對數字或資料的興趣．
下面有幾組資料，你能過目不忘嗎？一閃而過之後，你能記住多少，請大家一起來試一試，看誰記得多！
中國國土面積有9 600 000平方公里；
中國人口約有1 300 000 000人；
光的速度約為30 0000 000公尺/秒；
太陽的半徑約為69 600 000 000公尺；
世界的總人口約有6 100 000 000人；
銀河系的直徑為925 000 000 000 000 000公里．
（二）討論怎樣有效地讀出以上各個資料，順勢引出新課 — 科學記數法．
第一章教學反思
因式分解教學反思 教學過程中，能做到及時向學生反饋資訊。能走下講台，做到課內批改大部分學生的練習，且對於個別學習本課新知識有困難的學生能單獨予以輔導。在批改過程中，發現大部分學生都做錯及存在的問題能充分利用多 向學生展示，或是馬上板演為全體學生講解清楚。上完本課，教學目的能夠完成，教學重難點也能逐個...
第一章績效
1.1 什麼是績效？1.1.1 績效問題的提出 了解組織的目標是否實現，實現的程度如何，需要引入一種評價手段，評價的物件就是績效。管理者需要了解員工工作的成果 工作行為以及員工的潛力。員工希望得到關於工作的反饋，以指導自身職業技能的提高和職業生涯的發展。管理學者希望找到一種理想的管理方法，能夠兼顧組...
第一章 證明
三角形的性質與判定 證明方法 綜合法 反證法 綜合法 審題 找出已知 求證的各量之間的關係 分析解題思路 一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來 反證法 在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義 公理 已證定理或已知條件相矛盾的結...