講案2.3函式的定義域
課前自主研習
溫故而知新可以為師矣
知識導讀
1.函式定義域的求法
求函式定義域時，一般遵循以下原則：
(1)f(x)是整式時，定義域是
(2)f(x)是分式函式時，定義域是
(3)f(x)是偶次根式時，定義域是
(4)對數函式的真數大於零；當對數或指數函式的底數中含變數時，底數須
(5)零指數冪的底數
(6)若f(x)是由有限個基本初等函式的四則運算而合成的函式時，則其定義域一般是各基本初等函式的定義域的
(7)對於求復合函式定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函式f(g(x))的定義域應由不等式解出．
(8)對於含字母引數的函式，求其定義域，根據問題具體情況需對字母引數進行
(9)由實際問題確定的函式，其定義域除使函式有意義外，還要符合
2．函式定義域的表示方法
函式的定義域必須用表示．
導讀校對：1.(1)全體實數 (2)使分母不為零的一切實數 (3)使被開方式為非負值時的實數集合 (4)大於零且不等於1 (5)不能為零 (6)交集 (7)a≤g(x)≤b (8)分類討論 (9)問題的實際意義 2.
集合或區間
基礎熱身
1.(2010·湖北卷)函式y＝的定義域為( )
a. b.
c．(1，＋∞) d.∪(1，＋∞)
解析：要使函式有意義，則log0.5(4x－3)＞0，∴0＜4x－3＜1.∴＜x＜1.
答案：a
2．一等腰三角形的周長為20，底邊長y是關於腰長x的函式，它的解析式和定義域是( )
a．y＝20－2x(x≤10) b．y＝20－2x(x＜10)
c．y＝20－2x(4≤x＜10) d．y＝20－2x(5＜x＜10)
解析：三角形底邊長為20－2x，由滿足組成三角形的條件得x＋x＞20－2x，x＞5.
又∵20－2x＞0，∴x＜10.
答案：d
3．函式y＝的定義域為
解析：由已知應有解得x≥－4，且x≠－2，
所以定義域為[－4，－2)∪(－2，＋∞)．
答案：[－4，－2)∪(－2，＋∞)
4．函式y＝的定義域為
解析：由log (1－2x)≥0得0＜1－2x≤10≤x＜.
答案：5．函式f(x)＝log2的定義域是
解析：∵∴
∴2≤x＜3或3＜x＜4.
即x∈[2,3)∪(3,4)．
答案：[2,3)∪(3,4)
6．函式f(x)＝的定義域是
解析：依題意，，
解得－2≤x＜1或1＜x≤3，
所以定義域為．
答案：思維互動啟迪
博學而篤志切問而近思
疑難精講
1.求函式定義域的問題型別
(1)若已知函式的解析式，則這時函式的定義域是使解析式有意義的自變數的取值範圍，只需解不等式(組)即可．
(2)對於復合函式求定義域問題，若已知f(x)的定義域為[a，b]，其復合函式f(g(x))的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出．
(3)實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應使實際問題有意義．
2．在研究函式問題時，必須樹立「定義域優先」的觀點．高考對函式定義域通常是借助於函式性質或函式應用來考查的，具有隱蔽性，忽視定義域往往是個易錯環節．如求單調區間、判斷奇偶性、週期性等問題，都要先分析定義域.
互動**
題型1求具體函式的定義域
例1.求下列函式的定義域：
(1)y＝；
(2)y＝＋lgcosx；
(3)y＝.
【思維點撥】 欲使函式有意義，需分式的分母不為0，對數的真數大於0，偶次數被開方數非負，通過解不等式(組)即可．
【解析】 (1)由，得.
∴函式的定義域為(－1,0)．
(2)由，
得.借助於數軸，解這個不等式組，得函式的定義域為
[－55]．
(3)由，得x＞0且x≠1.
∴函式的定義域為．
【總結點評】 (1)如果只給函式的解析式(不註明定義域)，其定義域應為使解析式有意義的自變數的取值範圍，稱為自然定義域．
(2)如果函式受應用條件或附加條件所制約，其定義域稱為限定定義域．
題型2求復合函式的定義域
例2.(1)已知函式f(x)的定義域為(0,1)，求f(x2)的定義域；
(2)已知函式f(2x＋1)的定義域為(0,1)，求f(x)的定義域；
(3)已知函式f(x＋1)的定義域為[－2,3]，求f(2x2－2)的定義域．
【思維點撥】 (1)求函式的定義域就是求自變數x的取值範圍，求f(x2)的定義域就是求x的範圍，而不是求x2的範圍，這裡x與x2的地位相同，所滿足的條件一樣．
(2)由0＜x＜1確定出2x＋1的範圍，即為函式f(x)的定義域．
(3)應由－2≤x≤3確定出x＋1的範圍，求出函式f(x)的定義域，進而再求f(2x2－2)的定義域．它是(1)與(2)的綜合應用．
【解析】 (1)∵f(x)的定義域為(0,1)，
∴要使f(x2)有意義，需使0＜x2＜1，
即－1＜x＜0或0＜x＜1，
∴函式f(x2)的定義域為．
(2)∵f(2x＋1)的定義域為(0,1)，即其中的自變數x的取值範圍是0＜x＜1.
令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f(t)的定義域為1＜t＜3，
∴函式f(x)的定義域為．
(3)∵f(x＋1)的定義域為[－2,3]，∴－2≤x≤3，
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定義域為－1≤t≤4.
即f(x)的定義域為－1≤x≤4，
要使f(2x2－2)有意義，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤，
∴函式f(2x2－2)的定義域為
．【總結點評】 若已知復合函式f(g(x))的定義域求f(x)的定義域，可令t＝g(x)，由x的範圍推出t的範圍，再以x換t即得f(x)的定義域．若已知f(x)的定義域求復合函式f(φ(x))的定義域，可將f(x)的定義域寫成關於x的不等式，然後將x換成中間變數φ(x)，再解不等式即可得到復合函式f(φ(x))的定義域．
題型3函式定義域的逆向問題
例為何值時，函式y＝的定義域為r.
【解析】 ①k＝0時，y＝＝＝－8.即x取任意實數時，y都有意義，所以其定義域為r.
②k＞0時，分母kx2＋2kx＋1恆不等於0的條件是判別式小於0，
即(2k)2－4k＜0.∴0＜k＜1.
③k＜0時，拋物線kx2＋2kx＋1的開口向下，它恆不等於0的條件是其頂點的縱座標小於0，即＜0.
由此得出k＞1，與k＜0矛盾，即k＜0時不成立．
綜上所述，當0≤k＜1時，函式y＝的定義域為r.
錯解辨析
例4.已知函式f(x)＝，求函式f[f(x)]的定義域．
【錯解】 f[f(x)]＝f＝＝＝，∴定義域為．
【錯因】 上式中＝這一步是不等價變形．因為從左到右定義域範圍擴大了．本題錯解的原因是忽略了f(x)＝中應滿足x＋1≠0.
【正解】 f[f(x)]＝f＝＝，
(x≠－1且x≠－2)∴定義域為.
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