講案2.4函式的值域
課前自主研習
溫故而知新可以為師矣
知識導讀
1.函式的值域
(1)定義
在函式y＝f(x)中，與自變數x的值對應的的集合叫函式的值域．
(2)基本初等函式的值域
①y＝kx＋b(k≠0)的值域是
②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當a＞0時，值域為當a＜0時，值域為
③y＝(k≠0)的值域是
④y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是
⑤y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是______．
⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是
⑦y＝tanx的值域是
2．求函式值域的常用方法
(1)函式的直接制約著函式的值域，對於一些比較簡單的函式可通過觀察法求得值域．
(2)二次函式可用法求值域．
(3)分子、分母是一次函式的有理函式，可用法求得值域，或用法．
(4)無理函式可用法，尤其是三角代換求得值域．
(5)分子、分母中含有二次項的有理函式，可用________法．
(6)單調函式可根據函式的求得值域．
(7)函式圖象是掌握函式性質的重要手段，利用方法，根據圖象求得函式值域．
(8)有的函式可拆配成能利用重要不等式的形式，利用求值域．
(9)解析法：將某些式子根據其幾何意義，運用求值域(或最值)．
3．函式值域的表示方法
函式的值域必須用表示．
導讀校對：1.(1)函式值 (2)①ry|y∈r且y≠0} ④(0，＋∞) ⑤r ⑥[－1,1] ⑦r 2.
(1)定義域與對應法則 (2)配方 (3)反函式分離常數 (4)換元 (5)判別式 (6)單調性 (7)數形結合 (8)重要不等式 (9)解析幾何知識 3.集合或區間
基礎熱身
1.函式y＝的值域是( )
a． b．
c． d．
解析：y＝＝1－.
∵x2＋1≥1，∴0＜≤2，
∴－2≤－＜0，∴－1≤y＜1.選a.
答案：a
2．已知f(x)＝|x|(－2＜x＜2)，則y＝f(x－1)的值域是( )
a．[0,2) b．[0,3) c．[0,2] d．[0,3]
解析：∵－2＜x＜2，∴0≤f(x)＝|x|＜2，
∴f(x)的值域為[0,2)．而y＝f(x－1)的圖象可由y＝f(x)的圖象向右平移1個長度單位，值域不變，故y＝f(x－1)的值域與y＝f(x)的值域相同，所以y＝f(x－1)的值域為[0,2)．
答案：a
3．若函式y＝log (x2－2kx＋k)的值域為r，則k的取值範圍是( )
a．0c．k≤0或k≥1 d．k＝0或k≥1
解析：∵函式y＝log (x2－2kx＋k)值域為r，即y∈r
∴u＝x2－2kx＋k能取所有正值，
∴δ≥0即4k2－4k≥0.
解得k≥1或k≤0.
答案：c
4．(2010·重慶卷)函式y＝的值域是( )
a．[0，＋∞) b．[0,4]
c．[0,4) d．(0,4)
解析：要使函式有意義，則16－4x≥0.又因為4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函式y＝的值域為[0,4)．
答案：c
5．(2010·天津卷)若函式g(x)＝x2－2(x∈r)，f(x)＝則f(x)的值域是( )
a.∪(1，＋∞) b．[0，＋∞)
c. d.∪(2，＋∞)
解析：由x＜g(x)，得x＜x2－2，∴x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.
∴f(x)＝
即f(x)＝
當x＜－1時，y＞2；當x＞2時，y＞8.
∴當x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時，函式的值域為(2，＋∞)．
當－1≤x≤2時，－≤y≤0.
∴當x∈[－1,2]時，函式的值域為.
綜上可知，f(x)的值域為∪(2，＋∞)．
答案：d
6．函式y＝(x∈r)的值域是
解析：∵x2≥0，∴1＋x2≥1，∴0＜≤1.
答案：(0,1]
思維互動啟迪
博學而篤志切問而近思
疑難精講
1.函式值域的求法
(1)配方法：若函式型別為一元二次函式，則採用此法求其值域，其關鍵在於正確化成完全平方式．
(2)換元法：常用代數或三角代換法，把所給函式代換成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域．形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均為常數且ac≠0)的函式常用此法求解．
(3)判別式法：若函式為分式結構，且分母中含有未知數x2，則常用此法．通常去掉分母轉化為一元二次方程，再由判別式δ≥0，確定y的範圍，即為原函式的值域．
(4)不等式法：借助於重要不等式a＋b≥2 (a＞0，b＞0)求函式的值域．用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件「一正、二定、三相等」．
(5)反函式法：若原函式的值域不易直接求解，可以考慮其反函式的定義域，根據互為反函式的兩個函式定義域與值域互換的特點，確定原函式的值域，如y＝(a≠0)型函式的值域，可採用反函式法，也可用分離常數法．
(6)單調性法：首先確定函式的定義域，然後再根據其單調性求函式的值域，常用到函式y＝x＋(p＞0)的單調性：增區間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區間為(－，0)和(0，)．
(7)數形結合法：分析函式解析式表示的幾何意義，根據其圖象特點確定函式的值域．
2．(1)用換元法求值域時，需認真分析換元後變數的範圍變化；用判別式求函式值域時，一定要注意自變數x是否屬於r.
(2)用不等式法求函式值域時，需認真分析其等號能否成立；利用單調性求函式值域時，準確地找出其單調區間是關鍵．分段函式的值域應分段分析，再取並集．
(3)不論用哪種方法求函式的值域，都一定要先確定其定義域，這是求值域的重要環節.
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題型1求具體函式的值域
例1.求下列函式的值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
【解析】 (1)函式的定義域是，
∵y＝＝＝3＋，結合圖象．
∴函式的值域為．
(2)解法一：函式的定義域是r，當x＝0時，y＝0；當x≠0時，y＝，
設u＝x＋，利用函式u＝x＋的單調性可推出u∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，再由函式y＝的圖象可得y∈∪.
綜上，函式的值域為y∈.
解法二：(判別式法)∵函式的定義域是r，∴y＝，去分母，整理得yx2－x＋y＝0，當y＝0時，x＝0；當y≠0時，由δ≥0y∈∪.
綜上，函式的值域為y∈.
(3)函式的定義域是r，
y＝＝＝＋，
令t＝(t≥2)，∵函式y＝x＋在[2，＋∞)上是單調增函式，∴y≥
∴函式的值域為.
(4)解法一(利用函式的有界性)：
由y＝得sinx＋ycosx＝2y
∴sin(x＋φ)＝
∵|sin(x＋φ)|≤1
∴||≤1
解得－≤y≤，即y∈[－，]．
解法二(利用數形結合)：
∵－y＝
∴－y表示點(2,0)與圓x2＋y2＝1上的點連線的斜率，由圖易得－≤y≤，即y∈[－，]．
題型2求復合函式的值域
例2.已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]，求函式y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．
【解析】 由f(x)＝2＋log3x，得y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝logx＋6log3x＋6.又因為函式f(x)的定義域為[1,3]，
所以，函式y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域為
解得1≤x≤.
令t＝log3x，由x∈[1，]，得t∈.
所以，y＝t2＋6t＋6，t∈，由二次函式單調性得，6≤y≤.
∴函式y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域為.
題型3定義域與值域的綜合問題
例3.若函式y＝x2－3x－4的定義域為[0，m]，值域為[－，－4]，則m的取值範圍是________．
【解析】 ∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，又x∈[0，m]，y∈[－，－4]，∴m≥.
令m2－3m－4＝－4，
∴m＝0或3，故m的取值範圍是[，3].
錯解辨析
例4.已知函式y＝對定義域內的任意x值都有－1≤f(x)≤4，求a的取值範圍．
【錯解一】 把已知函式式變為yx2－ax＋y－3＝0，當y＝0時，x＝－；
當y≠0時，方程必有實根，則關於y的不等式δ＝a2－4y(y－3)≥0，即4y2－12y－a2≤0的解必為[－1,4]，從而－1,4是方程4y2－12y－a2＝0的兩個根，求得a＝±4.
【錯解二】 由題意知，[－1,4]應為不等式4y2－12y－a2≤0的解集的子集，分離出a2≥4y2－12y，當y∈[－1,4]時，t＝4y2－12y最大值為16，故a2≥16，從而解得a≥4或a≤－4.
【錯因】 錯解一中誤認為[－1,4]是函式y＝的值域．錯解二中誤認為[－1,4]是此函式的值域的子集，其實由題意，函式y＝的值域是[－1,4]的子集．
【正解】 由已知可得，對任意實數x，有
即恆成立，由δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
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