一次函式知識詳解
知識點1 一次函式和正比例函式的概念
若兩個變數x，y間的關係式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函式（x為自變數），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函式.y=kx例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函式，y=x，y=-x都是正比例函式.
【說明】 （1）一次函式的自變數的取值範圍是一切實數，但在實際問題中要根據函式的實際意義來確定.
（2）一次函式y=kx+b（k，b為常數，b≠0）中的「一次」和一元一次方程、一元一次不等式中的「一次」意義相同，即自變數x的次數為1，一次項係數k必須是不為零的常數，b可為任意常數.
（3）當b=0，k≠0時，y=b仍是一次函式.
（4）當b=0，k=0時，它不是一次函式.
**交流
有人說：「正比例函式是一次函式，一次函式也是正比例函式，它們沒什麼區別．」
點撥這種說法不完全正確．正比例函式是一次函式，但一次函式不一定是正比例函式，只有當b=0時，一次函式才能成為正比例函式．
知識點2 確定一次函式的關係式
根據實際問題中的條件正確地列出一次函式及正比例函式的表示式，實質是先列出乙個方程，再用含x的代數式表示y．
知識點3 函式的圖象
把乙個函式的自變數x與所對應的y的值分別作為點的橫座標和縱座標在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函式的圖象．畫函式圖象一般分為三步：列表、描點、連線．
知識點4 一次函式的圖象
由於一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖象是一條直線，所以一次函式y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b．
由於兩點確定一條直線，因此在今後作一次函式圖象時，只要描出適合關係式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點（-，0）.但也不必一定選取這兩個特殊點.
畫正比例函式y=kx的圖象時，只要描出點（0，0），（1，k）即可.
知識點5 一次函式y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的性質
（1）k的正負決定直線的傾斜方向；
①k＞0時，y的值隨x值的增大而增大；
②k﹤o時，y的值隨x值的增大而減小．
（2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越小（直線緩）；
（3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置；
①當b＞0時，直線與y軸交於正半軸上；
②當b＜0時，直線與y軸交於負半軸上；
③當b=0時，直線經過原點，是正比例函式．
（4）由於k，b的符號不同，直線所經過的象限也不同；
①如圖11－18（l）所示，當k＞0，b＞0時，直線經過第
一、二、三象限（直線不經過第四象限）；
②如圖11－18（2）所示，當k＞0，b﹥o時，直線經過第
一、三、四象限（直線不經過第二象限）；
③如圖11－18（3）所示，當k﹤o，b＞0時，直線經過第
一、二、四象限（直線不經過第三象限）；
④如圖11－18（4）所示，當k﹤o，b﹤o時，直線經過第
二、三、四象限（直線不經過第一象限）．
（5）由於|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的．另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x＋1可以看作是正比例函式y=x向上平移乙個單位得到的．
知識點6 正比例函式y=kx（k≠0）的性質
（1）正比例函式y=kx的圖象必經過原點；
（2）當k＞0時，圖象經過第
一、三象限,y隨x的增大而增大；
（3）當k＜0時，圖象經過第
二、四象限,y隨x的增大而減小．
知識點7 點p（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關係
（1）如果點p（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那麼x0,y0的值必滿足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是滿足函式解析式的一對對應值，那麼以x0，y0為座標的點p（x0，y0）必在函式的圖象上．
例如：點p（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點p（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點p′（2，1）不滿足解析式y=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點p′（2，1）不在直線y=x+l的圖象上．
知識點8 確定正比例函式及一次函式表示式的條件
（1）由於正比例函式y=kx（k≠0）中只有乙個待定係數k，故只需乙個條件（如一對x，y的值或乙個點）就可求得k的值．
（2）由於一次函式y=kx+b（k≠0）中有兩個待定係數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關於k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值．
知識點9 待定係數法
先設待求函式關係式（其中含有未知常數係數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知係數，從而得到所求結果的方法，叫做待定係數法．其中未知係數也叫待定係數．例如：函式y=kx+b中，k，b就是待定係數．
知識點10 用待定係數法確定一次函式表示式的一般步驟
（1）設函式表示式為y=kx+b；
（2）將已知點的座標代入函式表示式，解方程（組）；
（3）求出k與b的值，得到函式表示式．
例如：已知一次函式的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函式的關係式．
解：設一次函式的關係式為y＝kx+b（k≠0），
由題意可知，
解 ∴此函式的關係式為y=．
【說明】 本題是用待定係數法求一次函式的關係式，具體步驟如下：第一步，設（根據題中要求的函式「設」關係式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k≠0）；第二步，代（根據題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定係數k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到「設」的關係式y=kx+b中）；第四步，寫（寫出函式關係式）.
知識點11 一次函式與一次方程（組）、不等式的關係
思想方法小結 ：
（1）函式方法．
函式方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關係，抽象、昇華為函式的模型，進而解決有關問題的方法．函式的實質是研究兩個變數之間的對應關係，靈活運用函式方法可以解決許多數學問題．
（2）數形結合法．
數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函式有關的問題時，能起到事半功倍的作用．
知識規律小結 （1）常數k，b對直線y=kx+b(k≠0）位置的影響．
①當b＞0時，直線與y軸的正半軸相交；
當b=0時，直線經過原點；
當b﹤0時，直線與y軸的負半軸相交．
②當k，b異號時，即-＞0時，直線與x軸正半軸相交；
當b=0時，即-=0時，直線經過原點；
當k，b同號時，即-﹤0時，直線與x軸負半軸相交．
③當b＞o，b＞o時，圖象經過第
一、二、三象限；
當k＞0，b=0時，圖象經過第
一、三象限；
當b＞o，b＜o時，圖象經過第
一、三、四象限；
當k﹤o，b＞0時，圖象經過第
一、二、四象限；
當k﹤o，b=0時，圖象經過第
二、四象限；
當b＜o，b＜o時，圖象經過第
二、三、四象限．
（2）直線y=kx+b（k≠0）與直線y=kx(k≠0)的位置關係．
直線y=kx+b(k≠0)平行於直線y=kx(k≠0)
當b＞0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b；
當b﹤o時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b．
（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置關係．
①k1≠k2y1與y2相交；
②y1與y2相交於y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；
③y1與y2平行；
④y1與y2重合
典型例題
例1 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.
（1）寫出y與x之間的函式關係式； （2）當x=4時，求y的值；
（3）當y=4時，求x的值．
[分析] 由y-3與x成正比例，則可設y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，則可以寫出關係式．
解：（1）由於y-3與x成正比例，所以設y-3=kx．
把x=2，y=7代入y-3=kx中，得
7-3＝2k， ∴k＝2．
∴y與x之間的函式關係式為y-3=2x，即y=2x+3．
（2）當x=4時，y=2×4+3=11．
（3）當y＝4時，4=2x+3，∴x=.
學生做一做已知y與x+1成正比例，當x=5時，y=12，則y關於x的函式關係式是 .
老師評一評由y與x+1成正比例，可設y與x的函式關係式為x=k（x+1）.
再把x=5，y=12代入，求出k的值，即可得出y關於x的函式關係式．
設y關於x的函式關係式為y=k（x+1）.
∵當x=5時，y=12， ∴12=（5+1）k，∴k=2．
∴y關於x的函式關係式為y=2x+2．
【注意】 y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認為y=kx+1.
例2 （2003·哈爾濱）若正比例函式y=（1-2m）x的圖象經過點a（x1，y1）和點b（x2，y2），當x1﹤x2時，y1＞y2，則m的取值範圍是（ ）
a．m﹤ob．m＞0 c．md．m＞
[分析] 本題考查正比例函式的圖象和性質，因為當x1＜x2時，y1＞y2，說明y隨x的增大而減小，所以1-2m﹤o,∴m＞，故正確答案為d項．
例3（2003·陝西）已知直線y=2x+1．
（1）求已知直線與y軸交點m的座標；
（2）若直線y=kx+b與已知直線關於y軸對稱，求k，b的值．
老師評一評 （1）令x=0，則y=2×0+1=1，∴m（0，1）．
∴直線y=2x+1與y軸交點m的座標為(0，1)
（2）∵直線y=kx+b與y=2x+l關於y軸對稱，
∴兩直線上的點關於y軸對稱．
又∵直線y＝2x+1與x軸、y軸的交點分別為a（-，0），b（0，1）,
∴a（-，0），b（0，1）關於y軸的對稱點為a′（-，0），b′（0，1）．
∴直線y=kx+b必經過點a′（-，0），b′（0，1）．
一次函式複習
編號 期末 9 課題 一次函式複習時間2014.07.08 07.09 姓名 學習目標 進一步熟悉統計的有關知識，並能綜合應用。重點 統計的知識的準確應用。難點 統計的知識的準確應用。學習過程 一 知識鏈結1 為使我市冬季 天更藍 房更暖 決定實施 煤改氣 供暖改造工程，現甲 乙兩工程隊分別同時開挖...
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中考函式複習 一次函式
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