一元二次方程複習題
考點一、概念
(1)定義：
含有_______未知數，並且未知數的最高次數是______的______方程，就叫做一元二次方程。
(2)一元二次方程的一般表示式：
，其中_______是二次項，________是二次項係數；________是一次項，________是一次項係數是常數項。
⑶判斷一元二次方程的依據：
①二次項係數不為「0」；②未知數最高次數為「2」；③若存在某項指數為待定係數，或係數也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。
典型例題：
例1、下列方程中是關於x的一元二次方程的是（ ）
abcd例2、方程是關於x的一元二次方程，則m的值為
針對練習：
1、方程的一次項係數是常數項是
考點二、一元二次方程的解
⑴概念：使方程兩邊相等的未知數的值，就是方程的解。
⑵應用：利用根的概念求代數式的值；
典型例題：
例1、已知的值為2，則的值為
例2、關於x的一元二次方程的乙個根為0，則a的值為 。
針對練習：
1、已知方程的一根是2，則k為另一根是
2、已知關於x的方程的乙個解與方程的解相同。
⑴求k的值； ⑵方程的另乙個解。
3、已知m是方程的乙個根，則代數式
4、方程的乙個根為（ ）
ab 1cd
考點三、一元二次方程的解法
⑴方法：①直接開方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵關鍵點：降次
（一）直接開方法：形如，等形式均適用直接開方法
典型例題：
例1、解方程： =0;
例2、若，則x的值為
針對練習：
下列方程無解的是（ ）
a. b. c. d.
（二）因式分解法：
方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為「0」，
方程形式：如， ，
典型例題：
例1、的根為（ ）
a b c d
例2、若，則4x+y的值為
變式1變式2：若，則x+y的值為
例3、方程的解為（ ）
a. b. c. d.
針對練習：
1、下列說法中：
①方程的二根為，，則；
②；③④⑤方程可變形為
正確的有（ ）
a.1個 b.2個 c.3個 d.4個
2、以與為根的一元二次方程是
a． b. c． d．
3、寫出乙個一元二次方程，要求二次項係數不為1，且兩根互為倒數
4、方程：的解是
（三）配方法
通過配成_________來解一元二次方程的方法叫做配方法。配方是為了把乙個一元二次方程轉化為來解。
配方法的一般步驟：①把常數移到等號的右邊；②把二次項的係數化為1；③等式兩邊同時加上一次項係數一半的平方。
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數式的值或極值之類的問題。
典型例題：
例1、 試用配方法說明的值恆大於0。
例2、 已知x、y為實數，求代數式的最小值。
已知為實數，求的值。
針對練習：
已知，則 .
型別四、公式法
通過對進行配方，可以得到求根公式：
,典型例題：
例1、選擇適當方法解下列方程：
⑷ ⑸
考點四、「降次思想」的應用：⑴求代數式的值；⑵解二元二次方程組。
典型例題：
例1、 已知，求代數式的值。
例2、 如果，那麼代數式的值。
例4、用兩種不同的方法解方程組
說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都體現了一種共同的數學思想——化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題。
考點四、根的判別式：
當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根；
根的判別式的作用：
①判斷方程根的個數；②求待定係數的值；③應用於其它。
典型例題：
例1、若關於的方程有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是 。
例2、關於x的方程有實數根，則m的取值範圍是( )
a. b. c. d.
例3、已知關於x的方程
(1)求證：無論k取何值時，方程總有實數根；
(2)若等腰abc的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求abc的周長。
針對練習：
1、當k時，關於x的二次三項式是完全平方式。
2、當取何值時，多項式是乙個完全平方式？這個完全平方式是什麼？
3、為何值時，方程組
（1）有兩組相等的實數解，並求此解；
（2）有兩組不相等的實數解；
（3）沒有實數解.
考點五、方程類問題中的「分類討論」
典型例題：
例1、關於x的方程。⑴有兩個實數根，則m為只有乙個根，則m為
例2、不解方程，判斷關於x的方程根的情況。
例3、如果關於x的方程及方程均有實數根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k的值；若沒有，請說明理由。
考點六、應用解答題
⑴「碰面」問題；⑵「複利率」問題；⑶「幾何」問題；⑷「最值」型問題；⑸「圖表」類問題
典型例題：
1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？
2、已知兩個數的差是8，積是209，求這兩個數.
3、某市市**計畫兩年後實現市財政淨收入翻一番，那麼這兩年中市財政淨收入的平均年增長率應為多少？(精確到0.1%)
4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，據市場分析，若按每千克50元銷售，乙個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對此回答：
（1）當銷售價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。
（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
6、學校要建乙個面積為150平方公尺的長方形自行車棚，為節約經費，一邊利用18公尺長的教學樓後牆，另三邊利用總長為35公尺的鐵圍欄圍成，求自行車棚的長和寬。
考點七、根與係數的關係
⑴前提：對於而言，當滿足①、②時，才能用根與係數的關係（韋達定理）。
⑵根與係數的關係：若是方程的兩個根，則。
⑶應用：整體代入求值。
典型例題：
例1、已知乙個直角三角形的兩直角邊長恰是方程的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（ ）
ab.3 c.6 d.
例2、已知關於x的方程有兩個不相等的實數根，
（1）求k的取值範圍；
（2）是否存在實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。
例3、小明和小紅一起做作業，在解一道一元二次方程（二次項係數為1）時，小明因看錯常數項，而得到解為8和2，小紅因看錯了一次項係數，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什麼嗎？其正確解應該是多少？
例4、已知，，，求
變式：若，，則的值為
一元二次方程複習題 知識點梳理
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一元二次方程總複習知識點梳理
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