中小學數學課程為什麼加入「平移與旋轉」內容？這部分內容的作用和價值體現在哪些方面？如何看待其數學本質？
在課程實施過程中，如何把握這些內容及其要求？針對這些問題，東北師範大學有關學者進行了專題討論和訪談，本文就是這次交談的實錄，從中可以窺見所提問題的答案。
話題1 為什麼要增加平移旋轉，其意義和作用體現在哪些方面？
馬雲鵬（以下簡稱為m）：在本次課程改革中，幾何的變化比較大，原來小學的幾何主要涉及圖形的認識及其計算，如長方形、正方形、長方體、正方體及其面積、周長、體積的計算，其它的內容比較少。
在《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課程標準》）研製前後，逐漸發現小學幾何的內容結構有許多問題。仔細分析，我們漸漸認識到，除傳統的圖形認識及其計算之外，還有一些東西很重要的：
首先是位置，知道方位，知道路線。比如說，有這樣乙個最簡單的事情：你能不能描述一下從東北師大到火車站應該怎麼走？
有的人說得非常清楚，照他說的就能走到，而有的人就講不清楚。這種線路、方位的內容，原來只是東、南、西、北，現在加上東北、東南、西北、西南，加上方位、線路圖，就構成「位置」的課程內容。
其次，就是一些基本圖形的變化。以往的中小學數學關於圖形的位置關係只涉及軸對稱，非常簡單。而這次改革增加了對平移旋轉的內容，乙個圖形經過平移之後發生了什麼變化？旋轉呢？
另乙個內容就是「從不同方向看」，即從不同角度來觀察乙個事物、圖形，比如雕塑，從正面看是什麼樣？從側面看又是什麼樣？從上面呢？
從下面呢？這有點像以往《畫法幾何》上所學的三檢視那樣，但又不是那樣專業，而是以生活化的方式呈現。
將這樣一些東西寫進《課程標準》中，是希望小學階段的幾何內容更豐富。學生能否接受這些內容？在小學的兩個學段，學生應當學習什麼？
初中能夠接受到什麼程度？其間，我們參考了國外的課程標準、案例和教科書，更期望數學教學實驗可以驗證這些內容的可行性。
如何看待這些內容的教育價值？所蘊含的數學價值是什麼？ 對學生的發展又有什麼作用？對此，我們一直希望從數學的角度、從它的意義和價值、從學生的學習角度，進行認真、細緻的探索。
當前，在義務教育課程標準數學實驗教科書中，平移、旋轉、方位等內容都有涉及。儘管各個版本的教材都編入了這些內容，但是，對於上面所提得問題，大家未必都清楚。
請史校長談一談這些方面的問題。
史寧中（以下簡稱為s）：對於你剛才所說的線路圖，關鍵知道三件事就可以：到那兒開始拐，怎樣拐，拐完之後走多遠。其實，這件事和後面有必然的聯絡，一是旋轉，一是平移。
m：它和旋轉、平移有什麼關係呢？
s：它就是旋轉、平移。因為拐彎就是個旋轉，走多遠就是平移，到這個地方再拐彎，它實質上是旋轉與平移的疊加，是將二者放在一齊。
旋轉、平移是幾何變換最簡單的形式，就像你剛才說的路線圖一樣。現實生活中的位移，本質上都是平移和旋轉的多次重複。
在這裡，有乙個東西是最重要的——參照系。什麼叫做變化？有這個參照系以後就好描述，相對於參照系來說，這個位置改變了，也就是，它的前後兩個位置的方向、距離不同，它就變化了，否則就沒變化。
愛因斯坦相對論中最重要的、最根本的就是參照系。愛因斯坦研究什麼叫同時，他用不同的參照系，那麼，同時的概念就不一樣。所以說，要研究旋轉、平移必須有參照系。
m：參照系是否可以是乙個點、一條線？
s：在本質上都可以。如果參照系是乙個點的話，它能不能看出旋轉、平移呢？
物體必須有幾個點？如果這個點以極座標的形式出現的話，那就好辦了，它不僅能夠知道它變化前後的角度，而且還能知道變化的遠近。在這裡，只要有乙個點，就能看出來它變了，但看不出是怎麼變的。
我們可以仔細研究一下座標系，在本質上講，在平面上，因為這個東西最起碼是二維以上的才能旋轉，所以，參照系一般至少是二維的。一維的、要不就是直線，你那個點是零維的，零維的不行。如果在二維看，必須是座標系，最好是直角座標系，才能看得更清楚。
這樣的話，旋轉、平移就是一種簡單的變換了。
話題2 如何理解平移、旋轉和軸對稱的數學含義？
s：如此說來，平移、旋轉最簡單、最根本的核心是什麼呢？是剛體變換。
剛體變換是什麼意思呢？就是說，這種變換不改變物體的任何兩點之間的距離。比如，如果有兩個點的話，平移、旋轉之後，這兩個點之間的距離不變。
如果有三個點的話，任意兩個點的距離保持不變，因而也保持了點之間構成的線段的夾角保持不變。滿足這樣的變換只有旋轉、平移和反射，如果用座標變換的話，是正交變換。正交變換的特點是什麼呢？
正交變換對應的矩陣都是正交矩陣，也就是矩陣與轉置矩陣的乘積為單位矩陣。
m：那麼，空間中的物體旋轉和平移呢？
s：也是剛體變換，三維的用平面度量是不夠的，必須用三維來度量。
孔凡哲（以下簡稱為k）：那麼，與平移、旋轉相比，反射有什麼特殊的性質嗎？
s：平移、旋轉並不改變物體上點與點之間的左右順序，而反射變換則不同。反射變換雖然也是正交變換，其對應的正交矩陣是但是，物體的反射變換在平面內是無法實現的，你可以想象，只有借助空間中翻轉180，才能實現。
話題3：如何看待作為小學數學課程內容的平移、旋轉與軸對稱？
m：如果我們開始不講直角座標系的話，如何讓小學生懂得這一點呢？
s：用方格紙代替參照系也可以，但必須有參照物，書中不寫參照物，那就不叫變換。你憑什麼說變換？
變換是這樣，必須有相對運動，你讓座標系變動、而物體不動是可以的，如果你讓參照系不動、而物體變動也行，事實上，參照系的變動也就等於物體的變動，二者是相互的。
k：有時候，參照系可以在現實世界作為背景，假如我們以桌面作為背景，桌面不動，我從這個地方轉到另乙個地方。
s：假設小孩坐在火車上，他看見對面火車開了，往往會說自己坐的火車開動了。如果這兩輛火車以同樣的速度同時開，就不會發生這樣的情況，參照系跟著變了，它就不變了。
所以，參照系在紙上是不動，你感覺到物體在變。這種理解是非常重要的，這是乙個辯證的關係。
m：對小學生來說，是不是也要讓他從直觀角度理解這種變換需要有參照系呢？
s：應當從直觀的角度理解。事實上，旋轉變換一共有兩個要點：旋轉軸（旋轉中心）和角度。位置變化反而較難，因為你有參照系了，有了參照系的時候，斜著變較難理解。
m：斜著變，它是不是應該都按水平、垂直的方向變化呢？現在的教科書大都沒有直接寫斜著變，你要講斜著變，就先往左移動，然後再往上移動。
s：那也行，你先把參照系定好之後，對乙個變換來說，你必須把握兩點：如果這個參照系是直角座標系的話，那麼，你先按它的x軸進行變換，然後再按它的y軸進行變換，可以達到同樣的效果。
這個變換實質上相當於沿第一條直角邊移動，再沿第二條直角邊移動。
m：小學對於平移的處理方式通常是走兩個直角邊而不是直接走斜邊。
s：對小孩子怎麼說呢？
k：只要確定乙個方向就行了，確定方向和平移距離就行了，這是兩個要點。只要給我規定了方向，不一定沿著水平方向和豎直方向，我就規定說讓你沿著這個方向走，我不考慮你原來參照系是什麼樣，我只要規定方向和規定平移多少距離就行。
s：那什麼叫平移的方向？
k：在初中，通常是這樣描述的：將乙個物體沿著同乙個方向移動相同的距離，就叫平移。
s：乙個三角形，你把這個三角形平移到這，你的參照系是什麼？如果沒有設定的參照系，有許多事情是說不清的。
m：把圖形作為乙個整體，比如說乙個三角形，我在方格紙上移動兩個格，它就相當於把三角形上所有的點都按照同乙個方向移動了相同的距離…
s：這話矛盾了，乙個物體是不是？如何理解同乙個物體？什麼叫按照同樣的方向？
m：也就是將它整體移動。
s：這句話本身是矛盾的，乙個物體只能按乙個方向。事實上，一方面，你是按乙個物體移動，此時只有乙個方向；另一方面，你又把物體上的點看作是不同的，這些點按同樣的方向移動。
k：應該說，按相同的方向。
s：怎麼叫相同的方向？這種表達其含義是模糊的。乙個物體的同一次運動只能乙個方向。
k：有了參照系，一切就好表述了。在平面上，參照系實際上可以是兩條互相垂直的座標軸，也可以是由極點、極角和距離構成的極座標系。
而在直線上，數軸可以構成參照系。在三維空間中，參照系可以是由橫軸、縱軸和豎軸構成的座標系。
m：方格紙也可以看作小學的乙個參照系。當你把三角形畫在乙個方格紙上進行平移時，通常是這樣思考的：
三角形有三個點，把乙個點向右移動兩個格，第二個點也同時向右移動兩個格，第三個點也同時向右移動兩個格。這個三角形向右移動兩個格，其實相當於所有的點都平移兩個格。因為線段的兩個端點之間的平移是同樣的，這就相當於把三條線段同時平移了兩個格。
s：其實，在平面上，平移兩個點就夠了，無論這個圖形是什麼圖形。任何乙個物體只要有兩個點，它們倆平行地走同樣的距離，也就是，它拉動了這個物體，這就平移了。
k：在移動過程中，要保證它形狀不變。
m：僅僅固定乙個點，可能形成旋轉。
k：如何看待平移、旋轉與平面幾何的關係呢？一提平移旋轉，許多人往往聯想起變換幾何。
s：我的理解是，平面幾何與平移旋轉無關，為什麼呢？平面幾何所研究的東西，總體上是固定的，是沒有參照系的。
直到笛卡爾時期才可能產生參照系這種概念。雖然人們很早很早就研究圓錐曲線，但那時沒有方程，光有圖形、性質，也沒有平移和旋轉。
話題4：如何理解平移、旋轉對學生數學學習的作用和價值？
m：解決平移、旋轉等等這樣問題，其意義是什麼？學習這類問題的價值是什麼?有沒有很好的例子？
s：我想，最起碼就是我剛才說的路線問題。
m：您是說路線問題與平移旋轉有關？在《課程標準》設計時，沒有將路線與平移、旋轉聯絡起來。
k：是的，二者的確沒有結合起來。
m：我們原來設計的路線問題只是涉及方位，使學生認識方位而已。
s：這是現在的數學與過去的數學最大的差異。過去的數學沒有量的概念，只有關係的概念，從這兒能走到那兒。
我現在假設量的概念，走到這兒有多遠。這樣的話就可以判斷這幾條路走的遠近。平移、旋轉是最重要的，是圖形最根本的處理手段和方法。
m：原來沒有這個，學生的數學學得也很好，現在為什麼要加上這個內容呢？
k：我想，這個意義應該可以從兩個角度來談：乙個從數學內容去談；乙個是從生活角度談。
從生活角度談，平移、旋轉是現實生活中普遍存在的現象。從數學角度看，中學的很多幾何內容可以利用平移、旋轉的角度去思考和分析，而且，這樣做往往會使不少難題豁然開朗。現在就是搞不清楚，平移、旋轉對幾何之外的其它領域是不是也有價值？
平移與旋轉
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