2010-2023年高三畢業班數學課本知識點整理歸納之二
第二章二次函式與命題
一、基礎知識
1．二次函式：當0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關於x的二次函式，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。
2．二次函式的性質：當a>0時，f(x)的圖象開口向上，在區間（-∞，x0]上隨自變數x增大函式值減小（簡稱遞減），在[x0, -∞）上隨自變數增大函式值增大（簡稱遞增）。當a<0時，情況相反。
3．當a>0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③與函式f(x)的關係如下（記△=b2-4ac）。
1）當△>0時，方程①有兩個不等實根，設x1,x2(x1x2}和和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。
3）當△<0時，方程①無解，不等式②和不等式③的解集分別是r和.f(x)圖象與x軸無公共點。
當a<0時，請讀者自己分析。
4．二次函式的最值：若a>0，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，則當x=x0=時，f(x)取最大值f(x0)=.對於給定區間[m,n]上的二次函式f(x)=ax2+bx+c(a>0)，當x0∈[m, n]時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(x0); 當x0n時，f(x)在[m, n]上的最小值為f(n)（以上結論由二次函式圖象即可得出）。
定義1 能判斷真假的語句叫命題，如「3>5」是命題，「蘿蔔好大」不是命題。不含邏輯聯結詞「或」、「且」、「非」的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題由復合命題。
注1 「p或q」復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；「p且q」復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與「非p」即「p」恰好一真一假。
定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。
注2 原命題與其逆否命題同真假。乙個命題的逆命題和否命題同真假。
注3 反證法的理論依據是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。
定義3 如果命題「若p則q」為真，則記為pq否則記作pq.在命題「若p則q」中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。
二、方法與例題
1．待定係數法。
例1 設方程x2-x+1=0的兩根是α，β，求滿足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函式f(x).
【解】 設f(x)=ax2+bx+c(a0),
則由已知f(α)=β,f(β)=α相減並整理得a+b+1]=0，
因為方程x2-x+1=0中△0，
所以αβ，所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因為f(1)=a+b+c=1，
所以c-1=1，所以c=2.
又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1，所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0，
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2．方程的思想。
例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值範圍。
【解】 因為-4≤f(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f(1)=c-a≤4.
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= f(2)- f(1),
所以×(-1)+≤f(3)≤×5+×4,
所以-1≤f(3)≤20.
3．利用二次函式的性質。
例3 已知二次函式f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈r, a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x))=x也無實根。
【證明】若a>0，因為f(x)=x無實根，所以二次函式g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的x∈r,f(x)-x>0即f(x)>x，從而f(f(x))>f(x)。
所以f(f(x))>x，所以方程f(f(x))=x無實根。
注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。
4．利用二次函式表示式解題。
例4 設二次函式f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0（ⅰ）當x∈(0, x1)時，求證：x（ⅱ）設函式f(x)的圖象關於x=x0對稱，求證：x0<
【證明】 因為x1, x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
（ⅰ）當x∈(0, x1)時，x-x1<0, x-x2<0, a>0，所以f(x)>x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<0，所以f(x)綜上，x（ⅱ）f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=,
所以，所以
5．構造二次函式解題。
例5 已知關於x的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大。
【證明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.
構造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0，
所以f(x)在區間（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，負根比-1大。
6．定義在區間上的二次函式的最值。
例6 當x取何值時，函式y=取最小值？求出這個最小值。
【解】 y=1-,令u,則0y=5u2-u+1=5,
且當即x=3時，ymin=.
例7 設變數x滿足x2+bx≤-x(b<-1)，並且x2+bx的最小值是，求b的值。
【解】 由x2+bx≤-x(b<-1)，得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-≤-(b+1)，即b≤-2時，x2+bx的最小值為-，所以b2=2，所以（捨去）。
ⅱ) ->-(b+1)，即b>-2時，x2+bx在[0，-(b+1)]上是減函式，
所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.
綜上，b=-.
7.一元二次不等式問題的解法。
例8 已知不等式組 ①②的整數解恰好有兩個，求a的取值範圍。
【解】 因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,
若a≤0，則x11-2a.
因為1-2a≥1-a，所以a≤0,所以不等式組無解。
若a>0，ⅰ）當0因為0ⅱ）當a=時，a=1-a，①無解。
ⅲ）當a>時，a>1-a，由②得x>1-2a，
所以不等式組的解集為1-a又不等式組的整數解恰有2個，
所以a-(1-a)>1且a-(1-a)≤3，
所以1綜上，a的取值範圍是18．充分性與必要性。
例9 設定數a，b，c使得不等式
a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)≥0 ①
對一切實數x,y,z都成立，問a，b，c應滿足怎樣的條件？（要求寫出充分必要條件，而且限定用只涉及a，b，c的等式或不等式表示條件）
【解】 充要條件為a，b，c≥0且a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca).
先證必要性，①可改寫為a(x-y)2-(b-a-c)(y-z)(x-y)+c(y-z)2≥0 ②
若a=0，則由②對一切x,y,z∈r成立，則只有b=c，再由①知b=c=0，若a0，則因為②恆成立，所以a>0，△=(b-a-c)2(y-z)2-4ac(y-z)2≤0恆成立，所以(b-a-c)2-4ac≤0，即a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca)
同理有b≥0，c≥0，所以必要性成立。
再證充分性，若a≥0，b≥0，c≥0且a2+b2+c2≤2(ab+bc+ca)，
1）若a=0，則由b2+c2≤2bc得(b-c)2≤0，所以b=c，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若a>0，則由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
綜上，充分性得證。
9．常用結論。
定理1 若a, b∈r, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
【證明】 因為-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|（注：若m>0，則-m≤x≤m等價於|x|≤m）.
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.綜上定理1得證。
定理2 若a,b∈r, 則a2+b2≥2ab；若x,y∈r+,則x+y≥
(證略)
注定理2可以推廣到n個正數的情況，在不等式證明一章中詳細論證。
三、基礎訓練題
1．下列四個命題中屬於真命題的是若x+y=0，則x、y互為相反數」的逆命題；②「兩個全等三角形的面積相等」的否命題；③「若q≤1，則x2+x+q=0有實根」的逆否命題；④「不等邊三角形的三個內角相等」的逆否命題。
2．由上列各組命題構成「p或q」，「p且q」，「非p」形式的復合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是p；3是偶數，q：4是奇數；②p:3+2=6,q:
③p:a∈(a,b),q:; ④ p:
qr, q: n=z.
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2010 2011年高三畢業班數學課本知識點整理歸納之三 第三章函式 一 基礎知識 定義1 對映，對於任意兩個集合a，b，依對應法則f，若對a中的任意乙個元素x，在b中都有唯一乙個元素與之對應，則稱f a b為乙個對映。定義2 單射，若f a b是乙個對映且對任意x,y a,xy,都有f x f y...
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