高考題選編---導數與極限
一．選擇題
1．（湖南卷）數列{}滿足:,且對於任意的正整數m,n都有,則
abcd.2
解：數列滿足:, 且對任意正整數都有，，∴數列是首項為，公比為的等比數列。，選a.
2．(陝西卷) 等於
a. 1bcd.0
解： =
=，選b．
3．（四川卷）已知，下面結論正確的是
（a）在處連續b）
（cd）
解：已知，則，而，∴ 正確的結論
是，選d.
4．（江西卷）對於r上可導的任意函式f（x），若滿足（x－1）0，則必有
a． f（0）＋f（2）2f（1b. f（0）＋f（2）2f（1）
c. f（0）＋f（2）2f（1d. f（0）＋f（2）2f（1）
解：依題意，當x1時，f（x）0，函式f（x）在（1，＋）上是增函式；當x1時，f（x）0，
f（x）在（－，1）上是減函式，故f（x）當x＝1時取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故選c
5．（全國ii）過點（－1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線為
（a） （b） （c） （d）
解：，設切點座標為，則切線的斜率為2，且，於是切線方程為，因為點（－1，0）在切線上，可解得＝0或－4，代入可驗正d正確。選d
6.（浙江卷）在區間上的最大值是
(a)-2b)0c)2d)4
解：，令可得x＝0或2（2捨去），當－1x0時， 0，當0x1時， 0，所以當x＝0時，f（x）取得最大值為2。選c
7.（海、寧理10）曲線在點處的切線與座標軸所圍三角形的面積為
解:曲線在點處的切線斜率為，因此切線方程
為則切線與座標軸交點為所以：
8.（陝西理11）f(x)是定義在（0，+∞）上的非負可導函式，且滿足xf『(x)+f(x)≤0,對任意正數a、b,若a＜b，則必有
≤bf( ≤af( ≤f( ≤f(a)
解:設f（x）=，則，故f（x）=為減函式，由a＜b
有，選a
9.（全國2理8）已知曲線的一條切線的斜率為,則切點的橫座標為
(a)3b) 2c) 1d)
解:已知曲線的一條切線的斜率為， =，解得x=3或x=－2，由選擇項知，只能選a。
10.（江蘇9）已知二次函式的導數為，，對於任意實數都有，則的最小值為
abcd．
解:對於任意實數都有,
得 ,當取a=c時取等號。選c.
11.（福建文理11）已知對任意實數x有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0時，f』(x)>0，g』(x)>0，則x<0時
a f』(x)>0，g』(x)>0b f』(x)>0，g』(x)<0
c f』(x)<0，g』(x)>0d f』(x)<0，g』(x)<0
解:由已知f(x)為奇函式,影象關於原點對稱,在對稱區間的單調性相同;g(x)為偶函式,在對稱區間的單調性相反, x>0時f』』(x)>0,g』 (x) >0,遞增,當x<0時, f(x) 遞增, f 』(x)>0; g(x)遞減, g』(x)<0,選b.
12.（江西理11）設函式是上以5為週期的可導偶函式，則曲線在處的切線的斜率為
解:因為是可導偶函式，所以的圖象關於y軸對稱，所以在x=0處取得極值，即，又的週期為5，所以，即曲線在處的切線的斜率0，選b.
二. 填空題
1．（安徽卷）設常數，展開式中的係數為，則
解：，由，所以，所以為1。
2．（福建卷）如圖，鏈結△abc的各邊中點得到乙個新的△a1b1c1，又鏈結的△a1b1c1各邊中點得到，如此無限繼續下去，得到一系列三角形：△abc，△a1b1c1，△a2b2c2，…，
這一系列三角形趨向於乙個點m，已知a(0,0) ,b(3,0),c(2,2)，
則點m的座標是
解：如圖，鏈結的各邊中點得到乙個新的又鏈結
的各邊中點得到，如此無限繼續下去，得到一系列三
角形：，，，，這一系列三角形趨向於乙個點m。已知則點m的座標是的重心，∴ m=
3.（湖北卷）將楊輝三角中的每乙個數都換成，就得到乙個如下圖所示的分數三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中令，則
解：第乙個空通過觀察可得。
＝（1＋－1）＋（）＋（＋－）
＝（12（＋＋…＋）
＝〔（1
－（＋＋…＋）〕＝1－＋－＝＋－，所以
4．（江西卷）數列｛｝的前n項和為sn，則sn
解： ，故
，。5．（遼寧卷
解： 6．(上海卷)計算
解：；7．(上海卷)計算：
解： 。
8．（天津卷）設函式，點表示座標原點，點，若向量
，是與的夾角，（其中），
設，則解：函式，點表示座標原點，點，若向量
=，是與的夾角，（其中），設，則=1．
9．(重慶卷
解： 。
10.（福建卷）已知直線與拋物線相切，則
解：直線與拋物線相切，將y=x－1代入拋物線方程得，
∴，a=。
11.（湖北卷）半徑為r的圓的面積s(r)＝r2,周長c(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變數，則
(r2)`＝2r ①， ①式可以用語言敘述為：圓的面積函式的導數等於圓的周長函式。
對於半徑為r的球，若將r看作(0，＋∞)上的變數，請你寫出類似於的式子：
式可以用語言敘述為
解：v球＝，又故式可填，用語言敘述為「球的體積函式的導數等於球的表面積函式。」
12.（湖南卷）曲線和在它們交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是
解：曲線和在它們的交點座標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.
13.（遼寧理13）已知函式在點處連續，則
解:因為在點處連續，所以.
14.（湖北文13）已知函式的圖象在m（1，f（1））處的切線方程是+2，
解:由已知切點在切線上，所以f（1）=，切點處的導數為切線斜率，所以，所以3.
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