數學與應用數學專業《計算方法》課程實驗指導書
撰寫人：易雲輝審定人：王亞輝
目錄第一部分緒論1)
第二部分基本實驗指導
實驗一誤差的傳播與估計
實驗二拉格朗日插值多項式
實驗三變步長復合梯形求積公式
實驗四解非線性方程二分法
實驗五一元非線性方程的迭代解法
實驗六列主元高斯消去法
第一部分緒論
本指導書是根據《計算方法》課程實驗教學大綱編寫的，適用於數學與應用數學專業。
一、 本課程實驗的作用與任務（楷體小三號）
計算方法是研究使用電子計算機解決科學計算的方法及其理論的科學。內容包括數值積分、微分方程的數值解等，都是以科學中的數學問題作為研究物件的，它著重研究求解科學計算問題的數值計算方法及其穩定性、收斂性，數值計算的誤差分析的優劣。它涉及到如何將這些演算法編寫成電腦程式，因此上機實驗是必不可少的訓練。
通過該實驗課的基本訓鍊，使學生初步具備科學計算方法的基本知識，掌握常用計算機語言程式設計方法，掌握使用c等語言進行數值計算和計算的視覺化處理，具備初步的解決實際計算的能力和技巧。
二、 本課程實驗的基礎知識
本課程實驗所需用到的基礎知識有數學分析、高等代數、高階程式語言的一些專業知識，需要學生對這些知識有乙個綜合的掌握。
三、本課程實驗教學專案及其教學要求
第二部分基本實驗指導
實驗一誤差的傳播與估計
一、 實驗目的
理解誤差在算術運算中的傳播方式及如何在算術運算中控制誤差的傳播。
二、 實驗原理
算術運算中的捨入誤差在運算過程中的傳播常因演算法而異，不同演算法的數值穩定性往往差別很大。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows 2000/xp系統；turbo c/win-tc/vb等軟體。
四、 實驗內容與步驟
內容：計算積分
步驟：（1）由分部積分法建立兩種遞推公式：
（2）對這兩種遞推式進行程式實現，分別求出的值。
五、 實驗注意事項
程式設計時的取值可取為，並注意資料的輸出控制格式。程式除錯完後應給出本實驗的實驗報告。
六、 思考題
誤差在這兩種遞推式中是如何進行傳播的？
實驗二拉格朗日插值多項式
一、 實驗目的
理解插值函式的概念及插值多項式的唯一性，掌握代數插值中拉格朗日插值多項式的基本原理及程式實現。
二、 實驗原理
利用個插值節點可構造乙個最高次數不超過次的代數插值多項式，利用該代數插值多項式可做相應的函式逼近。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows 2000/xp系統；turbo c/win-tc/vb等軟體。
四、 實驗內容與步驟
內容：從函式表：
出發，用拉格朗日插值多項式計算的近似值。
步驟：（1）根據實驗內容，給出問題的程式**；
（2）上機輸入和除錯所程式設計序；
（3）除錯成功後，整理出實驗報告。
五、 實驗注意事項
程式設計時應注意程式的通用性。
六、 思考題
根據節點擊取原則，用兩點插值或三點插值，其結果如何？
實驗三變步長復合梯形求積公式
一、 實驗目的
理解積分數值計算方法的意義，明確數值積分中步長與精度的關係，掌握變步長復合梯形求積公式的程式實現。
二、 實驗原理
將積分區間逐次分半，每分一次就用同乙個復合積分公式算出相應的積分近似值，並利用前後兩次計算結果來判斷誤差是否達到精度要求。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows xp系統； c/vb編譯環境。
四、 實驗內容與步驟
內容：用變步長復合梯形求積公式計算積分的近似值，要求誤差不超過。
步驟：（1）根據實驗內容，給出問題的程式**；
（2）上機輸入和除錯所程式設計序；
（3）除錯成功後，整理出實驗報告。
五、 實驗注意事項
程式設計時應注意程式的通用性，程式中應體現分半次數。
六、 思考題
將計算結果與的值進行比較，驗證精度要求是否達到。
實驗四解非線性方程的二分法
一、 實驗目的
理解二分法的基本思想，掌握二分法的程式實現。
二、 實驗原理
將含根區間逐次分半，每分一次判斷根所在的子區間，捨去無根區間，保留含根區間，依次類推，直至結果滿足精度要求。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows 2000/xp系統；turbo c/win-tc/vb等軟體。
四、 實驗內容與步驟
內容：用二分法計算方程在區間內根的近似值，要求誤差不超過。
步驟：（1）根據實驗內容，給出問題的程式**；
（2）上機輸入和除錯所程式設計序；
（3）除錯成功後，整理出實驗報告。
五、 實驗注意事項
程式設計時應注意程式的通用性，程式中應體現二分次數。
六、 思考題
含根區間的大小對二分次數的影響程度有多大？
實驗五一元非線性方程的迭代解法
一、 實驗目的
通過該綜合性實驗的基本訓練，使學生進一步掌握科學計算方法的基本知識；掌握使用常用計算機語言程式設計進行數值計算的方法；鞏固學生對一元非線性方程的迭代解法的理解及對迭代解法收斂性及收斂速度的理解；提高學生對數值計算中誤差分析的能力。
二、 實驗原理
迭代法是一種逐次逼近法，這種方法使用某個迭代公式反覆校正根的近似值，使之逐步精確化，最後得到滿足精度要求的結果。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows 2000/xp系統；turbo c/win-tc/vb等軟體。
四、 實驗內容與步驟
內容：用單點迭代法及牛頓迭代法解一元非線性方程在[1，3]內的根，要求誤差不超過。
步驟：（1）建立迭代公式；
（2）選擇合適的初值；
（3）程式設計計算；
（4）上機輸入和除錯所程式設計序；
（5）進行誤差分析及收斂性分析；
（6）整理出實驗報告。
五、 實驗注意事項
（1）對單點迭代法應使迭代公式在初值附近具有區域性收斂性；
（2）對牛頓迭代法應使初值應盡量靠近方程的準確根，使迭代公式收斂；
（3）兩種方法的精度要求應相同，在此基礎上比較兩種方法的迭代次數，從而理解迭代解法收斂性及收斂速度的含義。
六、 思考題
對於用單點迭代法發散的格式，如果用埃特金加速方法是否一定收斂？
實驗六列主元高斯消去法
一、 實驗目的
理解線性方程組直接解法的基本思想，理解列主元高斯消去法的穩定性條件，掌握列主元高斯消去法的程式實現，體會模組化結構程式設計方法的優點。
二、 實驗原理
在高斯消去法的每一次消元計算之前，在係數矩陣或消元後的低階矩陣中按照一定的範圍選取絕對值最大的數做為主元素，以減少計算過程中捨入誤差對解的影響。
三、 主要儀器及耗材
計算機與windows 2000/xp系統；turbo c/win-tc/vb等軟體。
四、 實驗內容與步驟
內容：用列主元消去法求解方程組
要求輸出：計算解;
步驟：（1）根據實驗內容，給出問題的程式**；
（2）上機輸入和除錯所程式設計序；
（3）除錯成功後，整理出實驗報告。
五、 實驗注意事項
程式設計時應注意程式的通用性。
六、 思考題
如何判斷係數矩陣奇異。
計算數值方法實驗指導書
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