數值計算上機實驗
（設計題一）
實驗名稱：euler方法與改進的euler方法
小組成員及題號：1.洪媛媛2.陳昌利3.梁靜
4.王鑫 5.萬小倩6.沈杰
7.歐榮軍 8.蔣文燕
實驗報告
一、 實驗問題
求初值問題的數值解。：
要求：（1）用euler方法和改進的euler方法求常微分方程數值解，取h=0.02，並輸出
處的數值解。
2）分析兩種演算法的結果。
二、 演算法語言：matlab程式設計**
1. euler方法
x(1)=x0;
y(1)=y0;
h=h0;
n=(b-a)/h
for n=1:n
y(n+1)=y(n)+h*(f(x(n),y(n)));
x(n+1)=x(n)+h;
endfor n=1:m
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:n+1;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=a:h:b
v=g(u)
plot(u,v,'b')
hold off
2. 改進的euler方法
x(1)=x0;
y(1)=y0;
h=h0;
n=(b-a)/h
for n=1:n
yp=y(n)+h*(f(x(n),y(n)));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*(f(x(n+1),yp));
y(n+1)=(yp+yc)/2
endfor n=1:m
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:n+1;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=a:h:b
v=g(u)
plot(u,v,'b')
hold off
3. 求微分方程的符號解
dsolve(『eq1,eq2,…』,』cond1,cond2,…』,』u』)
三、 演算法步驟敘述；
euler格式的實現過程
step1：輸入必要的初始資料x0,b,y0,h
step2：輸出x0,y0
step3：對x0<=b迴圈求y1值
x1x0+h
y1=y0+h*f(x0,y0)
輸出x1,y1
x0x1
y0y1
step4：結束迴圈
改進euler格式的實現過程
step1：輸入必要的初始資料x0,b,y0,h
step2：輸出x0,y0
step3：對x0<=b迴圈求y1值
x1x0+h
k1=y0+ h*f(x0,y0)
k2=y0+ h*f(x1,k1)
y1=(k1+k2)/2
輸出x1,y1
x0x1
y0y1
step4：結束迴圈
四、 變數說明：
x0：自變數初值
y0：函式初值
h0：步長
a：自變數取值下限
b：自變數取值上限
m：已知條件中需要求解的近似解的個數
f：一階常微分方程的一般表示式的右端函式
u：自變數
g(u)：一階常微分方程的符號解
eq1、eq2：指定的常微分方程
cond1、cond2：初始條件
五、 程式清單：
1. >> dsolve('dy=x+y','y(0)=1','x')
x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
y(n+1)=y(n)+h*(x(n)+y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=2.*exp(u)-u-1;
plot(u,v,'b')
hold off
x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*(x(n)+y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*(x(n+1)+yp);
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=2.*exp(u)-u-1;
plot(u,v,'b')
hold off
2. >> dsolve('dy=y-2*x/y','y(0)=1','x')
x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2
v=exp(2.*x).*(1./exp(4.*x) (2.*x)./exp(4.*x)).^(1/2)
plot(u,v,'b')
hold off
x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*(yp-2*x(n+1)/yp);
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=exp(2.*x).*(1./exp(4.*x) (2.*x)./exp(4.*x)).^(1/2);
plot(u,v,'b')
hold off
3. >> dsolve('dy=x^2+100*y^2','y(0)=0','x')
>> x(1)=0
y(1)=0;
h=0.02;
for n=1:10
y(n+1)=y(n)+h*((x(n))^2+100*(y(n))^2);
x(n+1)=x(n)+h;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endhold off
>> x(1)=0
y(1)=0;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*((x(n))^2+100*(y(n))^2);
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*((x(n+1))^2+100*(yp)^2);
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endhold off
>> dsolve('dy=x^2+x-y','y(0)=0','x')
x(1)=0
y(1)=0;
h=0.02;
for n=1:10
y(n+1)=y(n)+h*((x(n))^2+x(n)-y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=u.^2 - 1./exp(u) - u + 1;
plot(u,v,'b')
hold off
x(1)=0
y(1)=0;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*((x(n))^2+x(n)-y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*((x(n+1))^2+x(n+1)-yp);
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=u.^2 - 1./exp(u) - u + 1;
plot(u,v,'b')
hold off
4. >> dsolve('dy=2*y/(x+1)','y(0)=1','x')
>> x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*(x(n)+y(n));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*(x(n+1)+yp);
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2
v=2.*exp(u)-u-1
plot(u,v,'b')
hold off
>> x(1)=0
y(1)=1;
h=0.02;
for n=1:10
yp=y(n)+h*(2*y(n)/(x(n)+1));
x(n+1)=x(n)+h;
yc=y(n)+h*(2*yp/(x(n+1)+1));
y(n+1)=(yp+yc)/2;
endfor n=1:6
[x(n) y(n)]
endhold on
for n=1:11;
plot(x(n),y(n),'r*')
endu=0:0.02:0.2;
v=(u+1).^2;
plot(u,v,'b')
hold of
>> dsolve('dy=-50*y+50*x^2+2*x','y(0)=1/3','x') x(1)=0;
x(1)=0
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