在數學計算中，有時會略去某些量的小數部分，而只需求它的整數部分．比如，用5公尺長的花布做上衣，已知每件上衣需用布2公尺，求這塊布料可以做幾件上衣？，我們的答案取的整數部分2。又如，我們收水費時，為方便經常是忽略掉用水量的小數噸數，而是先按用水量的整數噸數收費把餘量推至下乙個月一起收．所以數學上引進了符號〔 〕，使我們的表述簡明．
[a] 表示不超過a的最大整數，稱為a的整數部分．
例：[0]=0，[0.03]=0， =2，[10.25]=10，[7]=7， =0。
[a] 顯然有以下性質：
①[a] 是整數；
②[x]≤x；
③x＜[x]+1；
④若b≥1，則［a＋b］＞〔a〕；
若b≤1，則〔a＋b〕≤[a]+1．
請你自己舉些例子驗證前三條性質．
性質④舉例：a取2.7，則〔a〕=2．
若b=1.1，那麼〔a＋b〕=〔2.7+1.1〕=3>2=〔a〕．
若b=0.5，那麼［a＋b］=［2.7+0.5］＝〔3.2〕=3=〔a〕+1；
若b=0.1，那麼［a＋b］=〔2.8〕=2<〔a〕＋1．
〔a〕還有許多性質．例：若n是整數，則有：
〔a+n〕=〔a〕+n．
與〔a〕相關的是數a的小數部分，我們用符號表示．
例 ｛0｝=0，｛0.03｝=0.03，｛｝=，｛10.25｝=0.25，｛7｝=0，｛｝=。
顯然，a=〔a〕+，而且0≤＜1．
下面我們應用取整符號〔〕解題．
例1 判斷正誤：若2x+3〔x〕=1．則=0．
解：不正確．
假設 ＝0，則：［x］=x．
原式為：2〔x〕＋3〔x〕=1，5［x］=1，
[x]=，矛盾。
例2 求1～1993中可被2或3或5整除的整數的個數．
分析我們知道，自然數中不超過x的n的倍數的個數是。所以1～1993中能被2、3、5整除的數分別有=996（個），=664（個），=398（個）。但若把這三個數相加，做為答案就多了，因為有些數被重複計算了。
例如6及其倍數，既是2的倍數，又是3的倍數，被計算了兩次．同理，重複計算兩次的數還有10及它的倍數和15及它的倍數，一共有＋＋=663（個）要從和中減去。進一步還要考慮30及它的倍數，它們既是2、3與5的公倍數，也是6、10與15的公倍數．開始計算了三次，後來又減去了三次，所以要補上．
解：合題意的數有：
=2058－663＋66
=1461（個）
例3 求的值。
分析加法運算中常用高斯求和法簡算．求[x]的基本方法是根據定義x=[x]+．要善於觀察特殊值．
解：∵是整數，也是整數。
而｛｝＋｛｝，
∴ ｛｝＋｛｝是整數，又因
0＜｛｝＜1，0＜｛｝＜1，
∴ 0＜｛｝＋｛｝＜2。
在0至2之間的整數只有1．
∴ ｛｝＋｛｝=1
∴ =3－1=2。
同理， =2，…， =2。
∴＋…＋=10。
例4 求滿足方程〔x〕+［2x〕=19的x的值．
分析解這道題的關鍵是由x=〔x〕+求2x的整數部分和小數部分。
解：因為x=[x]+，
則 2x=2[x]+2．
〔2x〕=［2[x]+2］
=2[x]+［2］。
因0≤＜1，∴0≤2＜2．
現在對分段來討論：
① 當0≤＜時，
0≤2｛x｝＜1，
這時〔2x〕=2［x］，
原方程化為：3[x]=19，[x]=，此時無解。
②當≤｛x｝＜1時，1≤2｛x｝＜2，
這時〔2x〕=2〔x〕+1，原方程化為：3[x]+1=19，
∴ 3[x]＝18，
∴ [x]=6．
故滿足原方程的x為大於或等於，且小於7的數，即≤x＜7。
說明：此題運用了適當分類討論的數學思想。
例5 問下面一列數中共出現了多少個互不相同的數？
分析首先要考慮由已知條件我們能推出什麼？
①可推知這一列數的第一項=0，第二項=0，一共有1993個數，最後一項=1993。
② 可推知這一列數不等於同乙個數，但也不是互不相同。
≤≤…≤。
④ 考慮利用公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2分析項的變化。
因=，根據性質4，
若＞1，則這列數的相鄰兩項有關係：
＜。若≤1，則這列數的相鄰兩項有關係：
＋1≥，即相鄰兩項或相等或是相鄰自然數。
關鍵在確定。
解：數列的第項是， =1、2、…、1993。
也就是k＞996。
這說明當＞996時，＞1。
由分析知從至最後一項互不相同，共有1993－997＋1=997（個）。
而當k≤996時，前996項的相鄰兩項相等或差1．因知第一項=0，又第996項=497，所以共有497＋1=498個不同的數。
綜上所述，這一列數共有997+498=1495個不同的數。
例6 設a=100！＝12n·m，其中m、n均是自然數．則n最大取多少？
解：∵12=22×3，
而a中因數2有=97個；
a中因數3有=48個。
∴ a=，其中不能被12整除。
∴最大取48。
習題二1、在1～10000這一萬個自然數中，有多少個數能夠被5或7整除？
2、已知：，
求：s=？
3．求滿足方程〔x〕+［2x］=18的x的值。
4．是自然數，且
是整數，的最大值是多少？
第二講教育
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