專題二配方法的應用[學生用書b12]__
(教材p36作業題第5題)
已知9x2＋18(n－1)x＋18n是完全平方式，求常數n的值．
解：9x2＋18(n－1)x＋18n
＝9[x2＋2(n－1)x]＋18n
＝9[x2＋2(n－1)x＋(n－1)2]－9(n－1)2＋18n
＝[3(x＋n－1)]2－9(n－1)2＋18n.
已知9x2＋18(n－1)x＋18n是乙個完全平方式，
∴－9(n－1)2＋18n＝0，
化簡，得－9(n2－4n＋1)＝0，解得n＝2±.
【思想方法】 配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成「完全平方」)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡，何時配方需要我們適當**，並且合理運用「裂項」與「添項」、「配」與「湊」的技巧，從而完成配方，有時也將其稱為「湊配法」．配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝＋；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．
若x，y為任意有理數，比較6xy與x2＋9y2的大小．
解：∵x2＋9y2－6xy＝(x－3y)2≥0，
∴x2＋9y2≥6xy.
利用配方法證明：無論x取何實數值，代數式－x2－x－1的值總是負數，並求它的最大值．
證明：－x2－x－1＝－＋－1
＝－－，
∵－≤0，∴－－<0，
即無論x取何實數值，代數式－x2－x－1的值總是負數，當x＝－時，－x2－x－1有最大值－.
a，b滿足a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，求a＋2b的值．
解：∵a2＋2b2－2ab－2b＋1＝0，
∴a2＋b2－2ab＋b2－2b＋1＝0，
∴(a－b)2＋(b－1)2＝0.
∵(a－b)2≥0，(b－1)2≥0，
∴a－b＝0，b－1＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴a＋2b＝1＋2×1＝3，
∴a＋2b的值是3.
已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－4的值．
解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，
∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，
即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，
∴a＋2＝0且b－1＝0，∴a＝－2且b＝1，
∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－4＝13.
已知4x2－4x＋1＋＝0，求x＋y的值．
解：4x2－4x＋1＋＝0，
即(2x－1)2＋＝0，
∵(2x－1)2≥0，≥0，
∴2x－1＝0，且3y－2＝0，即x＝，y＝，
則x＋y＝＋＝1.
已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數根中較小的根．
(1)求a2－4a＋2 012的值；
(2)化簡求值－.
解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根．
∴a2－4a＋1＝0，
∴a2－4a＝－1，
∴a2－4a＋2 012＝－1＋2 012＝2 011；
(2)原方程的解是x＝＝2±.
∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數根中較小的根，
∴a＝2－<1，
∴原式＝－＝1－a－＝1－(2－)－＝1－(2－)－(2＋)＝－3.
對關於x的二次三項式x2＋4x＋9進行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.
(1)求m，n的值；
(2)當x為何值時x2＋4x＋9有最小值？並求最小值．
解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，
解得m＝2，n＝5；
(2)∵m＝2，n＝5，
∴x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5，
∴當x＝－2時，x2＋4x＋9有最小值是5.
小萍說，無論x取何實數，代數式x2＋y2－10x＋8y＋42的值總是正數．你的看法如何？請談談你的理由．
解：小萍的說法是正確的，此代數式的值總是正數．
∵x2＋y2－10x＋8y＋42＝x2＋y2－10x＋25＋8y＋16＋1＝(x－5)2＋(y＋4)2＋1，
無論x，y取何值，(x－5)2≥0，(y＋4)2≥0，
故(x－5)2＋(y＋4)2＋1≥1＞0，
因此此代數式的值總是正數．
當a，b為何值時，多項式a2＋2ab＋2b2＋6b＋18有最小值？並求出這個最小值．
解：a2＋2ab＋2b2＋6b＋18＝a2＋2ab＋b2＋b2＋6b＋9＋9＝(a＋b)2＋(b＋3)2＋9，
∴當a＝3，b＝－3時，多項式的最小值為9.
若a，b，c是△abc的三邊，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判斷這個三角形的形狀．
解：由已知條件可把原式變形為(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，由於a2＋b2＝c2，故此三角形為直角三角形．
專題複習 1 配方法在代數中應用
2008年5月7日學號 姓名 數學方法是人們提出 分析處理和解決問題的手段 策略，具有可操作性。在初中代數中，最常見的數學方法有 配方法 待定係數法 歸納 猜想。在本專題課著重介紹配方法在代數中的具體應用。一 配方法在解一元二次方程中的應用 例1 用配方法解方程 二 配方法在一元二次方程根的判別式中...
配方法的拓展與應用
浙江省永康市永康中學 321300 程紅妹 配方法，在數學上是指將代數式通過湊配等手段，得到完全平方形式，再利用諸如完全平方項是非負數這一性質達到增加題目條件等目的的一種數學方法，同乙個式子可以有不同的配方結果，可以配乙個平方式，也可以配多個平方式。配方的物件也具有多樣性，數 字母 式 函式關係等都...
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配方是數學中的乙個重要方法，在解題中有廣泛的應用 本文通過例題談談它的一些應用 一 應用於因式分解 例1 分解因式x4 4 解配方，得 原式 x4 4x2 4 4x2 x2 2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 例2 分解因式a2 4ab 3b2 2bc c2 解原式 a2 4ab 4b...