浙江省永康市永康中學（321300） 程紅妹
配方法，在數學上是指將代數式通過湊配等手段，得到完全平方形式，再利用諸如完全平方項是非負數這一性質達到增加題目條件等目的的一種數學方法，同乙個式子可以有不同的配方結果，可以配乙個平方式，也可以配多個平方式。配方的物件也具有多樣性，數、字母、式、函式關係等都可以進行配方。配方法在解題中有廣泛的應用，它可用於無理式證明、化簡、求代數式的值、解方程、解不等式、求最值、證明條件等式等。
新規程標準提出通過學習使學生能夠獲得基本的數學思想方法，浙教版八（下）數學學習了用配方法解一元二次方程，配方法作為一種常用的數學方法，針對浙八（下）內容，我對配方法的應用進行了一些拓展。
1．配方法在確定二次根式中字母的取值範圍的應用
在求二次根式中的字母的取值範圍時，經常可以借助配方法，通過平方項是非負數的性質而求解。
例1、求二次根式中字母的取值範圍
分析：根據二次根式的定義，必須被開方數大於等於零，再觀察被開方數可以發現可以利用配方法求得。
解： 因為無論取何值，都有。
所以的取值範圍是全體實數。
點評：經過配方，觀察被開方數，然後利用被開方數必須大於等於零求得所需要的解。
2．配方法在化簡二次根式中的應用
在二次根式的化簡中，也經常使用配方法。
例2、化簡
分析：題中含有兩個根號，化簡比較困難，但根據題目的結構特徵，可以發現可以寫成，從而使題目得到化簡。
解： 點評：的題型，一般可以轉化為（其中）來化簡。
3．配方法在證明代數式的值為正數、負數等方面的應用
在證明代數式的值為正數或負數，配方法也是一種重要的方法。
例3、不管取什麼實數，的值一定是個負數，請說明理由。
分析：本題主要考查利用配方法說明代數式的值恆小於0，說明乙個二次三項式恆小於0的方法是通過配方將二次三項式化成「+負數」的形式。
解： ∵，∴。
因此，無論x取什麼實數，的值是個負數。
點評：證明乙個二次三項式恆小於0的方法是通過配方將二次三項式化成「+負數」的形式來證明。
例4、不管x取什麼實數，的值一定是乙個正數，你能說明理由嗎？
分析：要證一定是乙個正數，只要把它化為「+正數」的形式即可。
解： ∵，∴
因此，不管x取什麼實數，的值一定是個正數。
點評：證明乙個二次三項式恆大於0的方法是通過配方將二次三項式化成 「+正數」的形式來證明。
4．配方法在解某些二元二次方程中的應用
解二元二次方程，在課程標準中不屬於考試內容，但有些問題，還是可以利用我們所學的方法得以解決。
例5、解方程。
分析：本題看上去是乙個二元二次方程的問題，實質上它是乙個非負數問題。
解：由整理為
∵，，∴，，
∴，。點評：把方程轉化為方程組問題，把生疏問題轉化為熟悉問題，體現了數學的轉化思想，正是我們學習數學的真正目的。
5．配方法在求最大值、最小值中的應用
在代數式求最值中，利用配方法求最值是一種重要的方法。可以使我們很跨求出所要求的最值。
例6、若為任意實數，求的最小值。
分析：求的最小值，可以先將它化成，根據，求得它的最小值為3。
解： ∵，∴，
因此，的最小值為3。
點評：配方法是求一元二次方程根的一種方法，也是推導求根公式的工具，同時也是求二次三項式最值的一種常用方法。
例7、若為任意實數，求的最大值。
分析：求最大值，可以先將它化成，然後根據，求得它的最大值為9。
解： ∵，∴
因此有最大值為9。
點評：求二次三項式的最大值或最小值，可以先將它們化成的形式，然後再判斷，當時，它有最小值；當時，它有最大值。
6．配方法在一元二次方程根的判別式中的應用
配方法是求一元二次方程根的一種方法，也是推導求根公式的工具，並且也是解決其他問題的方法，其用途相當廣泛。在一元二次方程根的判別式中也經常要應用到配方法。
例8、證明：對於任何實數，關於的方程都有兩個不相等的實數根。
分析：由於方程中含有字母係數，而要證明的是方程有兩個不相等的實數根，只需證明判別式恆大於零即可。
解： ∵， ∴，即。
∴方程有兩個不相等的實數根。
點評：利用判別式證明方程根的情況是一種常見的題型，其實質上判斷判別式的正負，一般都可以利用配方法解決。
例9、試判斷關於的方程的根的情況。
分析：由於方程中含有字母係數，要判別方程根的情況，實質上是要判斷判別式的正負。
解： ∵，∴，
∴方程沒有實數根。
點評：要判斷方程根的情況，其實質上判斷判別式的正負，而判斷判別式的正負，最常用的方法就是配方法。
7．配方法在恒等變形中的應用
配方法在等式的恒等變形中也經常用到，特別是含有多個二次式時，經常把他們分別配方，轉變為平方式。然後再進行解決。
例10、已知又知、、為三角形的三條邊，求證：該三角形是等邊三角形。
分析：題中分別含有、、的二次式，提醒我們不妨利用配方法進行解答。
證明：∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，，，
∴，，，∴。
∴三角形是等邊三角形。
點評：配方法在等式恒等變形中的應用，經常會讓我們收到意想不到的效果。
配方法是一種重要的數學方法，它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關係，討論不等關係的常用技巧，還是挖掘題目當中隱含條件的有力工具。它不僅可以用來解一元二次方程，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。配方法，是數學學習中的一種重要方法。
配方法拓展與解析
配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。配方法的配方依據是二項完全平方公...
專題二配方法的應用
專題二配方法的應用 學生用書b12 教材p36作業題第5題 已知9x2 18 n 1 x 18n是完全平方式，求常數n的值 解 9x2 18 n 1 x 18n 9 x2 2 n 1 x 18n 9 x2 2 n 1 x n 1 2 9 n 1 2 18n 3 x n 1 2 9 n 1 2 18n...
配方法在解題中的應用
配方是數學中的乙個重要方法，在解題中有廣泛的應用 本文通過例題談談它的一些應用 一 應用於因式分解 例1 分解因式x4 4 解配方，得 原式 x4 4x2 4 4x2 x2 2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 例2 分解因式a2 4ab 3b2 2bc c2 解原式 a2 4ab 4b...