2023年高水平大學自主選拔學業能力測試數學
（華約）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。
1.已知p為三角形abc內部任一點（不包括邊界），且滿足，則△abc一定為( )
a．直角三角形；b. 等邊三角形；c. 等腰直角三角形；d. 等腰三角形
2．圓錐的軸截面sab是邊長為2的等邊三角形，o為底面中心，m為so的中點，動點p在圓錐底面內（包括圓周）。若am⊥mp，則p點形成的軌跡的長度為______
ab. c. 3d.
3.設有乙個體積為54的正四面體，若以它的四個面的中心為頂點做乙個四面體，則
所作四面體的體積為______
a.1b. 2c. 3d. 4
4. 計算器上有乙個特殊的按鍵，在計算器上顯示正整數n時按下這個按鍵，會等可能的將其替換為0~n1中的任意乙個數。如果初始時顯示2011，反覆按這個按鍵使得最終顯示0，那麼這個過程中，9、99、999都出現的概率是
ab. cd.
5．已知，直線與
的交點在直線上，
則a.0b.1c-1d.2
6．設，則。
a 1b 2 c 3d 4
7． 已知，則
a 4/5b 3/5 c1d -4/5
8．頂點在同一球面上的正四稜柱中，，則兩點間的球面距離為（ ）
abcd．
9. 在平面直角座標系內，將適合且使關於t的方程沒有實數根的點所成的集合記為n，則由點集n所成區域的面積為 。
a 81/4b 83/4c 81/5d 83/5
10. 已知橢圓的左、右焦點分別為f1、f2，過橢圓的右焦點作一條直線l交橢圓於點p、q，則△f1pq內切圓面積的最大值是
abcd
二、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
一．設．若時，，且在區間上的最大值為1，求的最大值和最小值．
二、已知橢圓c：（），其離心率為，兩準線之間的距離為。
（1）求之值；
（2）設點a座標為(6, 0)，b為橢圓c上的動點，以a為直角頂點，作等腰直角△abp（字母a，b，p按順時針方向排列），求p點的軌跡方程。
三.（本小題滿分25分）已知數列中的相鄰兩項a2k-1，a2k是關於x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2 k =0的兩個根.
（1）求數列的前2n項和s2n.
（2）記f（n）=（+3），tn=+++…+，求證：≤tn≤（n∈n+）
四、已知橢圓過定點a（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線的交點為b、c。現有以a為焦點，過b，c且開口向左的拋物線，其頂點座標為m（m，0），當橢圓的離心率滿足時，求實數m的取值範圍。
五、已知從「神八」飛船帶回的某種植物種子每粒成功發芽的概率都為，某植物研究所進行該種子的發芽實驗，每次實驗種一料種子，每次實驗結果相互獨立。假定某次實驗種子發芽則稱該次實驗是成功的，如果種子沒有發芽，則稱該次實驗是失敗的。若該研究所共進行四次實驗，設表示四次實驗結束時實驗成功的次數與失敗的次數之差的絕對值
（1）求隨機變數的數學期望e；
（2）記「關於x的不等式的解集是實數集r」為事件a，求事件a發生的概率p（a）。
數學答案及詳解
1． 解：因為，所以已知條件可改寫為。容易得到此三角形為等腰三角形。 因此選 d。
2． 解：建立空間直角座標系。設a(0,-1,0), b(0,1,0), ,，p(x,y,0).
於是有由於am⊥mp，所以，即，此為p點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為。 因此選 b。
3. b
4.. 答：若計算器上顯示n的時候按下按鍵，因此時共有1~n1共n種選擇，所以產生給定的數m的概率是。
如果計算器上的數在變化過程中除了2011，999，99，9和0以外，還產生了，則概率為，所以所求概率為
注意到兩式相除即得。
5．解：由已知可知，可設兩直線的交點為，且為方程
，的兩個根，即為方程
的兩個根。因此
，即0。
6．解：。
7．8． b
9. 答：
令，原方程化為 ①
所給方程沒有實根等價於方程①無實根或有實根但均為負根，所以，
或點集n所成區域為圖中陰影部分，其面積為
10. 答：因為三角形內切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且△f1pq的周長是定值8，所以只需求出△f1pq面積的最大值。設直線l方程為，與橢圓方程聯立得，設，，則，，於是
。因為，所以內切圓半徑，因此其面積最大值是。
二、解答題
一． 解：由題意函式圖象為開口向上的拋物線，且在區間上的最大值只能在閉端點取得，
故有，從而且．若有實根，則，
在區間有即消去c，解出
即，這時，且．
若無實根，則，將代入解得．
綜上．所以，單調遞減
故．注重分類討論
二、解：（1）設c為橢圓的焦半徑，則。
於是有a＝5，b＝3。
（2） 解法一：設b點座標為，p點座標為。於是有
因為，所以有
。 (a1 )
又因為abp為等腰直角三角形，所以有 ab=ap，即
a2 )
由（a1）推出，代入（a2），得
從而有，即（不合題意，捨去）或。
代入橢圓方程，即得動點p的軌跡方程
解法二： 設,，則以a為圓心，r為半徑的圓的引數方程為
。設ab與x軸正方向夾角為，b點的引數表示為
，p點的引數表示為
.從上面兩式，得到
。又由於b點在橢圓上，可得
。此即為p點的軌跡方程。
三.（i）解：方程的兩個根為
5分）10分）
(ⅱ) 證明：，
所以15分）
當時，20分）
同時，．
綜上，當時25分）
四、解：橢圓過定點a（1，0），則
∵，∴。
由對稱性知，所求拋物線只要過橢圓與射線的交點，就必過橢圓與射線的交點。
聯立方程，解得。
∵，∴。
設拋物線方程為：，。
又把， 代入①得，，。
令，，，
∵在內有根且單調遞增，
∴ 綜上得：。
五、（1）由題意知ｌ的可能取值為0，2，4
指的是實驗成功2次，失敗2次.
指的是實驗成功3次，失敗1次或實驗成功1次，失敗3次.
指的是實驗成功4次，失敗0次或實驗成功0次，失敗4次.
故隨機變數的數學期望為.
（2）由題意知：「不等式的解集是實數r」為事件a.
當時，不等式化為1>0，其解集是r，說明事件a發生；
當時，不等式化為
，所以解集是r，說明事件a發生；
當時，不等式化為其解集，
說明事件a不發生.∴
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