2014—2015學年第一學期高一數學期末複習資料：函式部分
一、函式的概念及其表示
【基礎自查】
1．函式的基本概念
(1)函式的定義：設a、b是非空 ，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合a中的乙個數x，在集合b中都有確定的數f(x)和它對應，那麼稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作：
y＝f(x)，x∈a.
(2)函式的定義域、值域
在函式y＝f(x)，x∈a中，x叫自變數，x的取值範圍a叫做與x的值對應的y值叫函式值，函式值的集合叫值域．值域是集合b的子集．
(3)函式的三要素值域和對應關係．
(4)相等函式：如果兩個函式的定義域和完全一致，則這兩個函式相等；這是判斷兩函式相等的依據．
2．函式的三種表示方法
表示函式的常用方法有：解析法、列表法
3．對映的概念
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：a→b為從集合a到集合b的乙個對映．記作「f：a→b」
【基礎練習】
1．設有函式組
④，；⑤，．其中表示同乙個函式的有______．
2.設集合，，從到有四種對應如圖所示：
其中能表示為到的函式關係的有_______．
3.寫出下列函式定義域：
(1) 的定義域為2) 的定義域為
(3) 的定義域為4) 的定義域為
4、設函式，，則
考點一求函式的定義域
例1、求下列函式的定義域：
(1)f(x2)f(x)＝
求函式定義域的主要依據是
①分式的分母不能為零；②偶次方根的被開方式其值非負；③對數式中真數必須大於零，
底數必須大於零且不等於1；④零次冪的底數不能為零。
鞏固練習：
1、求下列函式的定義域：
f(x④ ⑤
2、設f(x)＝lg，則f()＋f()的定義域為( )
a．(－4,0)∪(0,4) b．(－4，－1)∪(1,4) c．(－2，－1)∪(1,2) d．(－4，－2)∪(2,4)
考點二求函式的解析式
例2、已知二次函式的最小值等於4，且，求的解析式．
分析：給出函式特徵，可用待定係數法求解．
鞏固練習
1、已知函式是一次函式，且，,則________．
2、如圖所示的圖象所表示的函式解析式為
3、已知f(x)是二次函式，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，試求f(x)的表示式．
4、已知f(x)＋2f()＝2x＋1，求f(x)．
5、設函式，,則
考點三：分段函式
例3、設函式f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關於x的方程f(x)＝x解的個數為a．1 b．2 c．3 d．4
鞏固練習
1、設f(x)＝，則f[f
2、設，則的值為
3、已知,則的值為
4、已知，若f(1)=f(-1)，則實數a的值為
5、已知，若f(a)+f(1)=0，實數a的值為
二、函式的單調性
【基礎自查】
1．函式的單調性
(1)單調函式的概念
設函式y＝f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的兩個自變數x1，x2，當x1＜x2時，都有那麼就說f(x)在區間d上是增函式(減函式)．
(2)單調區間的概念
如果函式f(x)在某個區間d上是增函式或減函式，就說f(x)在這一區間上具有(嚴
格的)單調性叫f(x)的單調區間．
2．函式的最值
設函式y＝f(x)的定義域為i，如果存在實數m滿足：對於的x∈i，都有f(x)≤m(或f(x)≥mx0∈i，使得f(x0)＝m.那麼，稱m是函式y＝f(x)的最大值(或最小值)．
【基礎練習】
1、下列函式中：
其中，在區間(0，2)上是遞增函式的序號有
2、函式的遞增區間是
3、函式y=x2-2x-3的遞減區間是
4、已知函式在定義域r上是單調減函式，且，則實數a的取值範圍___．
5.已知下列命題：
①定義在上的函式滿足，則函式是上的增函式；
②定義在上的函式滿足，則函式在上不是減函式；
③定義在上的函式在區間上是增函式，在區間上也是增函式，則函式在上是增函式；
④定義在上的函式在區間上是減函式，在區間上也是減函式，則函式在上是減函式．其中正確命題的序號有
6、已知函式y＝，則 ( )
a．(－∞，1)是函式的遞增區間 b．(－∞，－1)是函式的遞減區間
c．(－1，＋∞)是函式的遞增區間 d．(1，＋∞)是函式的遞減區間
例1、求證：（1）函式在區間上是單調遞增函式；
（2）函式在區間和上都是單調遞增函式．
分析：利用單調性定義證明函式的單調性，一般分三步驟：（1）在給定區間內任意取兩值，；（2）作差，化成因式的乘積並判斷符號；（3）給出結論．
鞏固練習
1．已知函式，則該函式在上單調遞填「增」「減」）
2．已知函式在上是減函式，在上是增函式，則___.
3. 已知函式在上是減函式，則m的取值範圍是
4.已知函式在區間上是增函式，則實數a的取值範圍是
5、下列函式中，在(－∞，0)上為增函式的是 ( )
a．y＝1－x2 b．y＝x2＋2x c．y＝ d．y＝
6、已知函式f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調遞減，那麼實數a的取
值範圍是a．(0,1) b．(0，) c．[，) d．[，1)
7、函式y＝f(x)是r上的偶函式，且在(－∞，0]上為增函式．若f(a)≤f(2)，則實數a的取值範圍是a．a≤2 b．a≥－2 c．－2≤a≤2 d．a≤－2或a≥2
三、函式的奇偶性
【基礎自查】
1．偶函式、奇函式的概念
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內x，都有f(－x)＝f(x)，那麼函式
f(x)就叫做偶函式．偶函式的圖象關於對稱．
一般地，如果對於函式f(x)的定義域內任意乙個x，都有那麼函式f(x)就叫做奇函式．奇函式的圖象關於對稱．
2．判斷函式的奇偶性： 判斷函式的奇偶性，一般都按照定義嚴格進行，一般步驟是：
(1)考查定義域是否關於原點對稱，這是函式具有奇(偶)性的必要非充分條件．
(2)考查表示式f(－x)是否等於f(x)或－f(x)：
若f(－x則f(x)為奇函式；若f (－x則f(x)為偶函式；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函式又是偶函式；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函式又不是偶函式，即非奇非偶函式．
【基礎練習】
1.給出4個函式：①；②；③；④．
其中奇函式的有______；偶函式的有________；既不是奇函式也不是偶函式的有________．
2. 設函式為奇函式，則實數
3.下列函式中，在其定義域內既是奇函式又是減函式的是（ ）
a. b. c. d.
4、f(x)＝－x的圖象關於( )
a．y軸對稱 b．直線y＝－x對稱 c．座標原點對稱 d．直線y＝x對稱
5、已知定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為
6、定義在r上的奇函式f(x)，當x>0時，f(x)＝x2＋x＋1，則f(x
考點一判斷函式的奇偶性
【例1】 下列函式：
①f(x)＝＋；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；
⑤f(x)＝lg.其中奇函式的個數是 ( ) a．2 b．3 c．4 d．5
鞏固練習
1、判斷下列函式的奇偶性：
（12）；
（34）；
（56）
點評：判斷函式的奇偶性，應首先注意其定義域是否關於原點對稱；其次，利用定義即或判斷，注意定義的等價形式或．
考點二函式奇偶性的應用
例2. 已知定義在上的函式是奇函式，且當時，，求函式的解析式，並指出它的單調區間．
點評：（1）求解析式時的情況不能漏；（2）兩個單調區間之間一般不用「」連線；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過「」實現轉化；（4）根據影象寫單調區間．
鞏固練習
1．已知定義域為r的函式在區間上為減函式，且函式為偶函式，則（ ）
a． b． c． d．
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