三角函式影象與性質
1．正弦函式、余弦函式、正切函式的影象
2．三角函式的單調區間：
的遞增區間是，遞減區間是；
的遞增區間是，遞減區間是，
的遞增區間是，
3．函式
最大值是，最小值是，週期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移後伸縮，但先伸縮後平移也經常出現無論哪種變形，請切記每乙個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看「變數」起多大變化，而不是「角變化」多少。
途徑一：先平移變換再週期變換(伸縮變換)
先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
途徑二：先週期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y＝sinx的圖象上各點的橫座標變為原來的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
5．由y＝asin(ωx＋)的圖象求其函式式：
9．五點法作y=asin（ωx+）的簡圖：
五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。
四．典例解析
題型1：三角函式的圖象
例1．（2000全國，5）函式y＝－xcosx的部分圖象是（ ）
解析：因為函式y＝－xcosx是奇函式，它的圖象關於原點對稱，所以排除a、c，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0。答案為d。
題型2：三角函式圖象的變換
例2．試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y=sinx的圖象。
解析：y=sin（2x+）
另法答案：
（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；
（2）再將y=sin2x上各點的橫座標擴大為原來的2倍（縱座標不變），得y=sinx的圖象；
（3）再將y=sinx圖象上各點的縱座標擴大為原來的3倍（橫座標不變），即可得到y=sinx的圖象。
例3．（2003上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ）
a．（1－y）sinx+2y－3=0b．（y－1）sinx+2y－3=0
c．（y+1）sinx+2y+1=0d．－(y+1)sinx+2y+1=0
解析：將原方程整理為：y=，因為要將原曲線向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.
點評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函式中的誘導公式。如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得c選項。
題型3：三角函式圖象的應用
例4．（2003上海春，18）已知函式f（x）=asin（ωx+）（a>0，ω>0，x∈r）在乙個週期內的圖象如圖所示，求直線y=與函式f（x）圖象的所有交點的座標。
解析：根據圖象得a=2，t=π－（－）=4π，∴ω=，∴y=2sin（+），
又由圖象可得相位移為即y=2sin（x+）。
根據條件=2sin（），∴=2kπ+ (k∈z)或=2kπ+π（k∈z），∴x=4kπ+（k∈z）或x=4kπ+π（k∈z）。
∴所有交點座標為（4kπ+）或（4kπ+）（k∈z）。點評：本題主要考查三角函式的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。
題型4：三角函式的定義域、值域
例5．（1）已知f（x）的定義域為［0，1］，求f（cosx）的定義域；
（2）求函式y=lgsin（cosx）的定義域；
分析：求函式的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這裡的cosx以它的值充當角。
解析：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈z）。
∴所求函式的定義域為。
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈z）。又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。故所求定義域為。
點評：求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線。
題型5：三角函式的單調性
例6．求下列函式的單調區間：
（1）y=sin（－）；（2）y=－｜sin（x+）｜。
分析：（1）要將原函式化為y=－sin（x－）再求之。（2）可畫出y=－|sin（x+）|的圖象。解：（1）y=sin（－）=－sin（－）。
故由2kπ－≤－≤2kπ+。3kπ－≤x≤3kπ+（k∈z），為單調減區間；由2kπ+≤－≤2kπ+。3kπ+≤x≤3kπ+（k∈z），為單調增區間。
∴遞減區間為［3kπ－，3kπ+］，
遞增區間為［3kπ+，3kπ+］（k∈z）。
（2）y=－|sin（x+）|的圖象的增區間為［kπ+，kπ+］，減區間為［kπ－，kπ+］。
題型6：三角函式的奇偶性
例7．（2001上海春）關於x的函式f（x）=sin（x+）有以下命題：
①對任意的，f（x）都是非奇非偶函式；
②不存在，使f（x）既是奇函式，又是偶函式；
③存在，使f（x）是奇函式；
④對任意的，f（x）都不是偶函式。
其中乙個假命題的序號是_____.因為當=_____時，該命題的結論不成立。
答案：①，kπ（k∈z）；或者①， +kπ（k∈z）；或者④， +kπ（k∈z）
解析：當=2kπ，k∈z時，f（x）=sinx是奇函式。當=2（k+1）π，k∈z時f（x）=－sinx仍是奇函式。
當=2kπ+，k∈z時，f（x）=cosx，或當=2kπ－，k∈z時，f（x）=－cosx，f（x）都是偶函式.所以②和③都是正確的。無論為何值都不能使f（x）恆等於零。
所以f（x）不能既是奇函式又是偶函式。①和④都是假命題。
點評：本題考查三角函式的奇偶性、誘導公式以及分析問題的能力，注意k∈z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個空全答對才能得分。
題型7：三角函式的週期性
例8．設的週期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
解析：(1)，，，
又的最大值。， ① ，且 ，由 ①、解出 a=2 , b=3.
(2)，，
， ， 或 ， 即 (共線，故捨去) ， 或 ， 。
點評：方程組的思想是解題時常用的基本思想方法；在解題時不要忘記三角函式的週期性。
題型8：三角函式的最值
例9．（2000京、皖春理，10）函式y＝的最大值是（ ）
a．－1b．＋1c．1d．－1－
解析：b；
三角函式恒等變換和影象性質答案
一選擇題 1 6 bcaaac 7 12 cdcdaa 二填空題 13.6 14.15.16.17.18.1 2 33 65 3 1.解法一 在角 終邊上任取一點 解法二 解法三 依題意在直線取一點p 1,2 則 則故選b 2.c，又 3.解 由題意知解得又當時，故在單調遞減，故選a 4答案a解析將...
《三角函式的影象和性質》課後反思
領到上課的任務後很是惶恐，才疏學淺不知拿什麼奉獻給大家，好在9月高三一輪複習開始我就思考乙個問題，那就是 翻轉課堂理念下的高三複習課如何達到高效 翻轉課堂的核心理念是使 知識傳遞發生在課外，知識內化發生在課堂 所以我們需要重新建構學習流程，教師既然作為組織者 引導者 促進者和參與者就應該讓出講台，走...
三角函式性質 總結
三角公式大全 y sinxy cosxy tanx 定義域 rr 值域 1,11,1r 週期 22 奇偶性 奇函式偶函式奇函式 單調區間 增區間減區間無 對稱軸無 對稱中心以上均 誘導公式 奇變偶不變，符號看象限 看成銳角角度具有相對性 角取點 a,b 所在象限 正弦定理 外接圓的半徑 比例的等比性...