【學習目標】
1． 理解圓的對稱性；
2． 掌握垂徑定理及其推論；
3．學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題．
【要點梳理】
知識點一、垂徑定理
1.垂徑定理
垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧.
2.推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧.
要點詮釋：
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即
(2)這裡的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
知識點二、垂徑定理的拓展
根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：
（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧；
（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧.
（4）圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
要點詮釋：
在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直於弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：
「過圓心、平分弦」作為題設時，平分的弦不能是直徑）
【典型例題】
型別一、應用垂徑定理進行計算與證明
1. 如圖，⊙o的兩條弦ab、cd互相垂直，垂足為e，且ab=cd，已知ce=1，ed=3，則⊙o的半徑是
【答案】.
【解析】作om⊥ab於m、on⊥cd於n，鏈結oa，
∵ab=cd，ce=1，ed=3，
∴om=en=1，am=2，
∴oa=.
【點評】對於垂徑定理的使用，一般多用於解決有關半徑、弦長、弦心距之間的運算(配合勾股定理)問題.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，⊙o兩弦ab、cd垂直相交於h，ah＝4，bh＝6，ch＝3，dh＝8，求⊙o半徑．
【答案】如圖所示，過點o分別作om⊥ab於m，on⊥cd於n，則四邊形monh為矩形，鏈結ob，
∴ ，
∴ 在rt△bom中，．
【高畫質id號： 356965 關聯的位置名稱（**點名稱）：例2-例3】
【變式2】如圖，ab為⊙o的弦，m是ab上一點，若ab＝20cm，mb＝8cm，om＝10cm，求⊙o的半徑.
【答案】14cm.
【高畫質id號：356965 關聯的位置名稱（**點名稱）：例2-例3】
2. 已知：⊙o的半徑為10cm，弦ab∥cd，ab=12cm，cd=16cm，求ab、cd間的距離.
【思路點撥】
在⊙o中，兩平行弦ab、cd間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦ab、cd的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦ab、cd間的距離.
【答案與解析】
(1)如圖1，當⊙o的圓心o位於ab、cd之間時，作om⊥ab於點m，
並延長mo，交cd於n點.分別鏈結ao、co.
∵ab∥cd
∴on⊥cd，即on為弦cd的弦心距.
∵ab=12cm，cd=16cm，ao=oc=10cm，
=8+6
=14(cm)
圖1圖2
(2)如圖2所示，當⊙o的圓心o不在兩平行弦ab、cd之間(即弦ab、cd在圓心o的同側)時，
同理可得：mn=om-on=8-6=2(cm)
∴⊙o中，平行弦ab、cd間的距離是14cm或2cm.
【點評】解這類問題時，要按平行線與圓心間的位置關係，分類討論，千萬別丟解.
舉一反三：
【變式】在⊙o中，直徑mn⊥ab，垂足為c，mn=10，ab=8，則mc
【答案】2或8．
型別二、垂徑定理的綜合應用
3. 要測量乙個鋼板上小孔的直徑，通常採用間接的測量方法．如果用乙個直徑為10mm的標準鋼珠放在小孔上，測得鋼珠頂端與小孔平面的距離h＝8mm(如圖所示)，求此小孔的直徑d．
【思路點撥】
此小孔的直徑d就是⊙o中的弦ab．根據垂徑定理構造直角三角形來解決．
【答案與解析】
過o作mn⊥ab，交⊙o於m、n，垂足為c，
則，oc＝mc－om＝8－5＝3mm．
在rt△aco中，ac＝，
∴ ab＝2ac＝2×4＝8mm．
答：此小孔的直徑d為8mm．
【點評】應用垂徑定理解題，一般轉化為有關半徑、弦、弦心距之間的關係與勾股定理的運算問題.
4. 不過圓心的直線l交⊙o於c、d兩點，ab是⊙o的直徑，ae⊥l於e，bf⊥l於f．
(1)在下面三個圓中分別畫出滿足上述條件的具有不同位置關係的圖形；
(2)請你觀察(1)中所畫圖形，寫出乙個各圖都具有的兩條線段相等的結論(oa＝ob除外)(不再標註其他字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程)；
(3)請你選擇(1)中的乙個圖形，證明(2)所得出的結論．
【答案與解析】
(1)如圖所示，
在圖①中ab、cd延長線交於⊙o外一點；
在圖②中ab、cd交於⊙o內一點；
在圖③中ab∥cd．
垂徑定理教學反思
通過反思這一課的課堂教學，我發現大部分學生對知識的理解不夠，不能靈活應用知識於實際生活 求趙州橋主橋拱的半徑 對這一課進行全面反思後，我認識到要善於處理好教學中知識傳授與能力培養的關係，巧妙地引導學生解決生活中的數學問題。不斷地激發學生的學習積極性與主動性，培養學生思維能力 想象力和創新精神，使每個...
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九年級下冊垂徑定理專題練習 1 如圖，如果ab為 o的直徑，弦cd ab，垂足為e，那麼下列結論中錯誤的是 a.ce de b.c.d.2 過 o內一點m的最長弦為4cm，最短弦長為2cm，則om的長為 a.b.c.d.3 已知圓心到圓的兩條平行弦的距離分別是2和3，則兩條平行弦之間的距離為 4 如...
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一 選擇題 每題3分，共30分 1 已知 o的半徑為6cm，點a是線段op的中點，且op 8cm，則點a和 o的位置關係是 a 點a在 o內 b 點a在 o上 c 點a在 o外 d 無法確定 2 下列說法正確的是 a 弦是直徑 b 弧是半圓 c 半圓是弧 d 過圓心的線段是直徑 3.下列說法 兩個點...