知識考點：
1、垂徑定理及其推論是指：一條直線①過圓心；②垂直於一條弦；③平分這條弦；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優弧。這五個條件只須知道兩個，即可得出另三個（平分弦時，直徑除外），要求理解掌握。
2、掌握垂徑定理在圓的有關計算和證明中的廣泛應用。
精典例題：
【例1】如圖，⊙o的直徑ab和弦cd相交於e，若ae＝2cm，be＝6cm，∠cea＝300，求：
（1）cd的長；
（2）c點到ab的距離與d點到ab的距離之比。
分析：有關弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構造的直角三角形來研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法。
解：（1）過點o作of⊥cd於f，鏈結do
∵ae＝2cm，be＝6cm，∴ab＝8cm
∴⊙o的半徑為4 cm
∵∠cea＝300，∴of＝1 cm
∴cm由垂徑定理得：cd＝2df＝cm
（2）過c作cg⊥ab於g，過d作dh⊥ab於h，易求ef＝cm
∴de＝cm，ce＝cm
∴【例2】如圖，半徑為2的圓內有兩條互相垂直的弦ab和cd，它們的交點e到圓心o的距離等於1，則＝（ ）
a、28b、26
c、18d、35
分析：如圖，鏈結oa、oc，過o分別作ab、cd的垂線，垂足分別為m、n，則am＝mb，cn＝nd。
∵om⊥mn，me⊥en，cn＝nd∴從而
即∴故選a。
【例3】如圖，等腰△abc內接於半徑為5cm的⊙o，ab＝ac，tanb＝。求：
（1）bc的長；
（2）ab邊上高的長。
分析：（1）已知ab＝ac，可得，則a為的中點。已知弧的中點往往鏈結這點和圓心，從而可應用垂徑定理；（2）求一邊上的高（或垂線段）可考慮用面積法來求解。
解：（1）鏈結ao交bc於d，鏈結bo
由ab＝ac得，又o為圓心
由垂徑定理可得ao垂直平分bc
∵tanb＝，設ad＝cm，則bd＝cm
∴od＝cm
在rt△bod中，，解得，（捨去）
∴bd＝3 cm，bc＝6 cm。
（2）設ab邊上的高為，由（1）得：ad＝1 cm，ab＝cm∵∴
探索與創新：
【問題一】不過圓心的直線交⊙o於c、d兩點，ab是⊙o的直徑，ae⊥於e，bf⊥於f。
（1）如圖，在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關係的圖形；
（2）請你觀察（1）中所畫的圖形，寫出乙個各圖都具有的兩條線段相等的結論（不再標註其它字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程）；
（3）請你選擇（1）中的乙個圖形，證明（2）所得出的結論。
分析：這是一道開放性試題，首先要根據直線與ab的不同位置關係畫出不同的圖形（如下圖），①直線與ab平行；②直線與ab相交；③直線與ab或ba的延長線相交。其次根據圖形寫出乙個兩條線段相等的正確結論，結論也是開放的，這也是近幾年中考命題的熱點。
解（1）如下圖所示。
（2）ec＝fd或ed＝fc
（3）以①圖為例來證明。過o作oh⊥於h
∵ae⊥，bf⊥，∴ae∥oh∥bf
又∵oa＝ob，∴eh＝hf，再由垂徑定理可得ch＝dh
∴eh－ch＝fh－dh，即ec＝fd
【問題二】如圖，⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，過a任作一直線與⊙o1交於m，與⊙o2交於n，問什麼時候mn最長？為什麼？
解析：任作兩條過a的線段ef、mn，比較mn與ef的大小，不好比較，根據垂徑定理，分別過o1、o2作弦心距，易知cd＝ef，pq＝mn，比較pq與cd的大小即可（pq＝o1o2）。發現o1o2是直角梯形的斜腰，大於直角腰，如果mn的一半正好是o1o2，則mn最長。
答案：當mn∥o1o2時，mn最長。
跟蹤訓練：
一、選擇題：
1、下列命題中正確的是（ ）
a、平分弦的直徑必垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧；
b、弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦；
c、若兩段弧的度數相等，則它們是等弧；
d、弦的垂線平分弦所對的弧。
2、如圖，⊙o中，直徑cd＝15cm，弦ab⊥cd於點m，om∶md＝3∶2，則ab的長是（ ）
3、已知⊙o的半徑為10cm，弦ab∥cd，ab＝12 cm，cd＝16 cm則ab和cd的距離是（ ）
a、2cmb、14cm
c、2cm或14cmd、2cm或12cm
4、若圓中一弦與弦高之和等於直徑，弦高長為1，則圓的半徑長為（ ）
a、1bc、2d、
二、填空題：
1、在半徑為5cm的⊙o中，有一點p滿足op＝3 cm，則過p的整數弦有條。
2、如圖，⊙o中弦ab⊥cd於e，ae＝2，eb＝6，ed＝3，則⊙o的半徑為 。
3、等腰△abc中，ab＝ac，∠a＝1200，bc＝10 cm，則△abc的外接圓半徑為 。
4、圓內一弦與直徑相交成300的角，且分直徑為1 cm和5 cm兩段，則此弦長為 。
5、如圖，ab為⊙o的直徑，ac為弦，od⊥ac於d，bd交oc於e，若ac＝4，ab＝5，則be
6、如圖，已知⊙o1與⊙o2相交於a、b兩點，c、a、d三點在一條直線上，cd的延長線交o1 o2的延長線於p，∠p＝300，，則cd
三、計算或證明題：
1、如圖，rt△abc中，∠c＝900，ac＝3，bc＝4，以點c為圓心，ca為半徑的圓與ab、bc分別交於點d、e，求ab、ad的長。
2、如圖，⊙o的半徑為10cm，g是直徑ab上一點，弦cd經過點g，cd＝16cm，ae⊥cd於e，bf⊥cd於f，求ae－bf的值。
3、如圖，ab為⊙o的直徑，點c在⊙o上，∠bac的平分線交bc於d，交⊙o於e，且ac＝6，ab＝8，求ce的長。
4、如圖，△abc內接於⊙o，弦ad⊥bc於e，cf⊥ab於f，交ad於g，be＝3，ce＝2，且tan∠obc＝1，求四邊abdc的面積。
跟蹤訓練參***
一、選擇題：bccd
二、填空題：
1、4條；2、；3、cm；4、cm；5、；6、6
三、計算或證明題：
1、ab＝5，ad＝；
2、解：鏈結oc，過點o作om⊥cd於m，則cm＝md
cd＝16，ab＝8，在rt△omc中，因oc＝10
om＝ae⊥cd，bf⊥cd，om⊥cd，∴ae∥om∥bf
ae－bf＝2om＝12
3、提示：鏈結oe，由得oe垂直平分bc於f，ab為直徑，則∠acb＝900，bc＝。∴cf＝，ec＝
4、解：過點o作om⊥bc於m，on⊥ad於n，鏈結ao
∵be＝3，ce＝2，∴bc＝5，bm＝
又∵tan∠obc＝1，∴∠obm＝450
在rt△obm中，ob＝，∴on＝me＝
在rt△aon中，an＝
∵on⊥ad，∴an＝nd，∴ad＝7∴
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