第十七章反比例函式
一、基礎知識
1. 定義：一般地，形如（為常數，）的函式稱為反比例函式。還可以寫成
2. 反比例函式解析式的特徵：
⑴等號左邊是函式，等號右邊是乙個分式。分子是不為零的常數（也叫做比例係數），分母中含有自變數，且指數為1.
⑵比例係數
⑶自變數的取值為一切非零實數。
⑷函式的取值是一切非零實數。
3. 反比例函式的影象
知識點3反比例函式的影象及畫法
反比例函式的影象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第
一、第三象限或第
二、第四象限，它們與原點對稱，由於反比例函式中自變數函式中自變數，函式值，所以它的影象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近座標軸，但永遠達不到座標軸。
越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直． 越小，圖象的彎曲度越大．
反比例函式的影象及畫法
⑴影象的畫法：描點法
1 列表（應以o為中心，沿o的兩邊分別取三對或以上互為相反的數）
2 描點（有小到大的順序）
3 連線（從左到右光滑的曲線）
再作反比例函式的影象時應注意以下幾點
①列表時選取的數值宜對稱選取；
②列表時選取的數值越多，畫的影象越精確；
③連線時，必須根據自變數大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連線，切忌畫成折線；
④畫影象時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將影象與座標軸相交。
⑵反比例函式的影象是雙曲線，（為常數，）中自變數，函式值，所以雙曲線是不經過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近座標軸，但是永遠不與座標軸相交。
⑶反比例函式的影象是是軸對稱圖形（對稱軸是或）。
⑷反比例函式（）中比例系數的幾何意義是：過雙曲線（）上任意引軸軸的垂線，所得矩形面積為。
4．反比例函式性質如下表：
5. 反比例函式解析式的確定：利用待定係數法（只需一對對應值或影象上乙個點的座標即可求出）
6．「反比例關係」與「反比例函式」：成反比例的關係式不一定是反比例函式,但是反比例函式中的兩個變數必成反比例關係。
7. 反比例函式的應用
二、例題
【例1】如果函式的影象是雙曲線，且在第二，四象限內，那麼的值是多少？
【解析】有函式影象為雙曲線則此函式為反比例函式，（）即（）又在第二，四象限內，則可以求出的值
【答案】由反比例函式的定義，得：
解得時函式為
（一）考察概念
例1 已知函式 y = （5m — 3）x + （n+m）
（1）當m，n為何值時，是一次函式？
（2）當m，n為何值時，為正比例函式？
（3）當m，n為何值時，為反比例函式？
【例題】2、k為何值時,是反比例函式
2.如果函式的影象是雙曲線，且在第二，四象限內，那麼的值是多少？
【例題3、下列函式中是反比例函式的有填序號）
2、在函式中，自變數x的取值範圍是
例4 已知y=y1+y2 ,y1與x＋1成正比例，ｙ2與x＋1成反比例，當x＝0時，ｙ＝－5；當x＝2時，ｙ＝－7。
（1）求ｙ與x的函式關係式；
（2）當ｙ＝5時，求x的值
【例5】在反比例函式的影象上有三點，，，，， 。若則下列各式正確的是（ ）
a． b． c． d．
【解析】可直接以數的角度比較大小，也可用影象法，還可取特殊值法。
解法一：由題意得，， ，所以選a
解法二：用影象法，在直角座標系中作出的影象
描出三個點，滿足觀察影象直接得到選a
解法三：用特殊值法
例6 在反比例函式y =的圖象上，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則k的取值範圍為
例4 反比例函式y =的圖象上有三點（x，y）、（x，y）、（x，y），其中x＜x＜0＜x，則y，y，y用「＜」連線
【例3】如果一次函式相交於點（），那麼該直線與雙曲線的另乙個交點為（ ）
【解析】
【例4】 如圖，在中，點是直線與雙曲線在第一象限的交點，且，則的值是_____.
**:因為直線與雙曲線過點,設點的座標為.
則有.所以.
又點在第一象限,所以.
所以.而已知. 所以.
（三）考察反比例函式y＝（k為常數，且）
中k的幾何意義
例5 點a是反比例函式圖象上的一點，過a作ab⊥y軸於b點，若△abo面積為2，則反比例函式解析式為
變形1：點a是反比例函式圖象上的一點，過a作ab⊥y軸於b點，點p在x軸上，△abp的面積為2，則反比例函式解析式為
變形2：如圖，點d、c為反比例函式上兩點，df⊥x軸於點f，ce⊥y軸於e，則△def與△cef面積的大小關係為
例6 如圖，正比例函式y＝kx（k>0）與反比例函式的圖象交於a，c兩點，過a點作x軸的垂線，交x軸於b，過c點作y軸的垂線交y軸於d，鏈結ab，bc，cd，ad，則abcd的面積為
（四）綜合問題
例7 如圖，在直角座標系xoy中，一次函式y＝kx＋b的圖象與反比例函式的圖象交於a(-2，1)、b(1，n)兩點。
(1) 求上述反比例函式和一次函式的表示式；
(2) 觀察圖象，寫出一次函式值小於反比例函式值的x的取值範圍？
(3) 連線ao，bo，求△aob的面積。
（五）考察反比例函式的實際應用
例8 為了預防流感，某學校在休息天用藥薰消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內每立方公尺空氣中的含藥量（毫克）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢後，與的函式關係式為（為常數），如圖所示．據圖中提供的資訊，解答下列問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函式關係式及相應的自變數取值範圍；（2）據測定，當空氣中每立方公尺的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進入教室，那麼從藥物釋放開始，至少需要經過多少小時後，學生才能進入教室？（3）當空氣中每立方公尺空氣中的含藥量y達到0.
6毫克消毒才有效，問消毒的有效時間為多少？
三、練習題1.反比例函式的影象位於（ ）
a．第一、二象限 b．第
一、三象限 c．第
二、三象限 d．第
二、四象限
2.若與成反比例，與成正比例，則是的（ ）
a、正比例函式 b、反比例函式 c、一次函式 d、不能確定
3.如果矩形的面積為6cm2，那麼它的長cm與寬cm之間的函式圖象大致為（ ）
4.某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，
氣球內氣體的氣壓p ( kpa ) 是氣體體積v ( m3 )
的反比例函式，其圖象如圖所示．當氣球內氣壓大於120 kpa時，氣球將**．為了安全起見，氣球的體積應（ ）a、不小於m3 b、小於m3 c、不小於m3 d、小於m3
5．如圖 ，a、c是函式的圖象上的任意兩點，過a作軸的垂線，垂足為b，過c作y軸的垂線，垂足為d，記rtδaob的面積為s1，rtδcod的面積為s2則 （ ）
a． s1 ＞s2b． s1 c． s1=s2d． s1與s2的大小關係不能確定
6．關於x的一次函式y=-2x+m和反比例函式y=的圖象都經過點a（-2，1）.
求：（1）一次函式和反比例函式的解析式；（2）兩函式圖象的另乙個交點b的座標；
（3）△aob的面積．
7. 如圖所示，一次函式y＝ax＋b的圖象與反比例函式y＝的圖象交於a、b兩點，與x軸交於點c．知點a的座標為（－2，1），點b的座標為（，m）．
（1）求反比例函式和一次函式的解析式；
（2）根據圖象寫出使一次函式的值小於反比例函式的值的x的取值範圍．
8． 某蓄水池的排水管每小時排水8m3，6小時可將滿池水全部排空．
（1）蓄水池的容積是多少？
（2）如果增加排水管，使每小時的排水量達到q（m3），那麼將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化？
（3）寫出t與q的關係式．
（4）如果準備在5小時內將滿池水排空，那麼每小時的排水量至少為多少？
（5）已知排水管的最大排水量為每小時12m3，那麼最少需多長時間可將滿池水全部排空？
.9.某商場**一批名牌襯衣，襯衣進價為60元，在營銷中發現，該襯衣的日銷售量y（件）是日銷售價x元的反比例函式，且當售價定為100元/件時，每日可售出30件.
（1）請寫出y關於x的函式關係式；
（2）該商場計畫經營此種襯衣的日銷售利潤為1800元，則其售價應為多少元？
10．如圖，在直角座標系xoy中，一次函式y＝kx＋b的圖象與反比例函式的圖象交於a(-2，1)、b(1，n)兩點。
(1)求上述反比例函式和一次函式的表示式；
(2)求△aob的面積。
四、課後作業
1．對與反比例函式，下列說法不正確的是（ ）
a．點（）在它的影象上
b．它的影象在第
一、三象限
c．當時，
d．當時，
2.已知反比例函式的圖象經過點（1，-2），則這個函式的圖象一定經過（ ）
a、（2，1） b、（2，-1） c、（2，4） d、（-1，-2）
3．在同一直角座標平面內，如果直線與雙曲線沒有交點，那麼和的關係一定是（ ）
a. +=0 b.·<0 c.·>0 d. =
4. 反比例函式y＝的圖象過點p（－1.5，2），則k
5. 點p（2m－3，1）在反比例函式y＝的圖象上，則m
6. 已知反比例函式的圖象經過點（m，2）和（－2，3）則m的值為
7. 已知反比例函式的圖象上兩點，當時，有，則的取值範圍是？
8.已知y與x-1成反比例，並且x＝-2時y＝7，求：
(1)求y和x之間的函式關係式； (2)當x=8時，求y的值； (3)y＝-2時，x的值。
9. 已知,且反比例函式的圖象在每個象限內，隨的增大而增大,如果點在雙曲線上，求a是多少？
【例題】1.已知y與x-1成反比例，並且x＝-2時y＝7，求：(1)求y和x之間的函式關係式； (2)當x=8時，求y的值(3)y＝-2時，x的值。
【練習】1.已知y=y1+y2，y1是關於的正比例函式，y2是關於的反比例函式；當時，,當時，；（1）求y關於x的函式解析式；
反比例函式知識點及例題經典
第十七章反比例函式 一 基礎知識 1.定義 形如 的函式稱為反比例函式。還可以寫成 2.反比例函式解析式的特徵 等號左邊是函式，等號右邊是分式，分子是不為零的常數 也叫做比例係數 分母中含有自變數，且指數為1.比例係數 自變數的取值為一切非零實數。函式的取值是一切非零實數。3.反比例函式的影象 影象...
反比例函式知識點及經典例題
例2 在反比例函式的影象上有三點，若則下列各式正確的是 a b c d 解析 可直接以數的角度比較大小，也可用影象法，還可取特殊值法。解法一 由題意得，所以選a 解法二 用影象法 解法三 用特殊值法 例3 如果一次函式相交於點 那麼該直線與雙曲線的另乙個交點為 解析 例4 如圖，在中，點是直線與雙曲...
反比例函式知識點及經典例題
第十七章反比例函式 一 基礎知識 1.定義 一般地，形如 為常數，的函式稱為反比例函式。還可以寫成 2.反比例函式解析式的特徵 等號左邊是函式，等號右邊是乙個分式。分子是不為零的常數 也叫做比例係數 分母中含有自變數，且指數為1.比例係數 自變數的取值為一切非零實數。函式的取值是一切非零實數。3.反...