1、反比例函式的圖象和性質：
2、反比例函式與正比例函式的異同點：
例 1 下面函式中，哪些是反比例函式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
解：其中反比例函式有（2），（4），（5）．
說明：判斷函式是反比例函式，依據反比例函式定義， ，它也可變形為及的形式，（4），（5）就是這兩種形式．
例 2在以下各小題後面的括號裡填寫正確的記號．若這個小題成正比例關係，填(正)；若成反比例關係，填(反)；若既不成正比例關係又不成反比例關係，填(非)．
(1)周長為定值的長方形的長與寬的關係 （ ）；
(2)面積為定值時長方形的長與寬的關係 （ ）；
(3)圓面積與半徑的關係 （ ）；
(4)圓面積與半徑平方的關係 （ ）；
(5)三角形底邊一定時，面積與高的關係 （ ）；
(6)三角形面積一定時，底邊與高的關係 （ ）；
(7)三角形面積一定且一條邊長一定，另兩邊的關係 （ ）；
(8)在圓中弦長與弦心距的關係 （ ）；
(9)x越來越大時，y越來越小，y與x的關係 （ ）；
(10)在圓中弧長與此弧所對的圓心角的關係 （ ）．
答：說明：本題考查了正比例函式和反比例函式的定義，關鍵是一定要弄清出二者的定義．
例 3 已知反比例函式，y隨x增大而減小，求a的值及解析式．
分析根據反比例函式的定義及性質來解此題．
解因為是反比例函式，且y隨x的增大而減小，
所以解得
所以，解析式為．
例4 （1）若函式是反比例函式，則m的值等於（ ）
a．±1 b．1 c． d．－1
（2）如圖所示正比例函式）與反比例函式的影象相交於a、c兩點，過a作x軸的垂線交x軸於b，鏈結bc．若的面積為s，則：
a． b． c． d．s的值不確定
解：（1）依題意，得解得．
故應選d．
（2）由雙曲線關於o點的中心對稱性，可知：．
∴．故應選a．
例5 已知，與x成正比例，與x成反比例，當時，；當時，，求時，y的值．
分析先求出y與x之間的關係式，再求時，y的值．
解因為與x成正比例，與x成反比例，
所以．所以．
將，；，代入，得
解得所以．所以當時，．
說明不可草率地將都寫成k而導致錯誤，題中給出了兩對數值，決定了的值．
例 6 根據下列**x與y的對應數值．
（1）在直角座標系中，描點畫出影象；（2）試求所得影象的函式解析式，並寫出自變數x的取值範圍．
解：（1）影象如右圖所示．
（2）根據影象，設，取代入，得． ∴．
∴函式解析式為．
說明：本例考查了函式的三種表示法之間的變換能力，即先由列表法通過描點畫圖轉化為影象法，再由影象法通過待定係數法轉化為解析法，題目新穎別緻，有較強的趣味性．
例 7（1）一次函式與反比例函式在同一座標系中的影象大致是如圖中的（ ）
（2）一次函式與反比例函式在同一直角座標系內的影象的大致位置是圖中的（ ）
解：的影象經過第
一、二、四象限，故排除b、c；又的影象兩支在第
一、三象限，故排除d．∴答案應選a．
（2）若，則直線經過第
一、三、四象限，雙曲線的影象兩支在第
一、三象限，而選擇支a、b、c、d中沒有乙個相符；若，則直線經過第
二、三、四象限，而雙曲線的兩支在第
二、四象限，故只有c正確．應選c．
例8， 已知函式是反比例函式，且其函式影象在每乙個象限內，隨的增大而減小，求反比例函式的解析式．
解：因為是的反比例函式，所以，所以或
因為此函式影象在每一象限內，隨的增大而減小 ，所以，所以，所以，所以反比例函式的解析式為
說明：此題根據反比例函式的定義與性質來解反比例函式，當時，隨增大而減小，當時，隨增大而增大．
例 9 乙個長方體的體積是100立方厘公尺，它的長是y厘公尺，寬是5厘公尺，高是x厘公尺．
（1）寫出用高表示長的函式關係式；（2）寫出自變數x的取值範圍；
（3）當厘公尺時，求y的值； （4）畫出函式的影象．
分析本題依據長方體的體積公式列出方程，然後變形求出長關於高的函式關係式．
解 （1）因為長方體的長為y厘公尺，寬為5厘公尺，高為x厘公尺，
所以，所以．
（2）因為x是長方體的高．所以．即自變數x的取值範圍是．
（3）當時，（厘公尺）
（4）用描點法畫函式影象，列表如下：
描點畫圖如圖所示．
例 10 已知力f所作用的功是15焦，則力f與物體在力的方向通過的距離s的圖象大致是（ ）．
說明本題涉及力學中作功問題，主要考查在力的作用下物體作功情況，由此，識別正、反比例函式，一次函式的圖象位置關係．
解據，得15=，即，所以f與s之間是反比例函式關係，故選（b）．
例11 乙個圓台形物體的上底面積是下底面積的如果如下圖所示放在桌上，對桌面的壓強是，翻過來放，對桌面的壓強是多少？
解：由物理知識可知，壓力，壓強與受力面積之間的關係是因為是同一物體，的數值不變，所以與成反比例．
設下底面是，則由上底面積是，
由，且時，，有
因為是同一物體，所以是定值．所以當時，因此，當圓台翻過來時，對桌面的壓強是300帕．
說明：本題與物理知識結合考查了反比例函式，關鍵是清楚對於同乙個物體，它對桌面的壓力是一定的．
例12 如圖，p是反比例函式上一點，若圖中陰影部分的矩形面積是2，求這個反比例函式的解析式．
分析求反比例函式的解析式，就是求k的值．此題可根據矩形的面積公式及座標與線段長度的轉化來解．
解設p點座標為．
因為p點在第二象限，所以．
所以圖中陰影部分矩形的長、寬分別為．
又，所以．因為，所以．
所以這個反比例函式的解析式為．
說明過反比例函式影象上的一點作兩條座標軸的垂線，可得到乙個矩形，這個矩形的面積等於中的．
例13. 當n取什麼值時，是反比例函式？它的影象在第幾象限內？在每個象限內，y隨x增大而增大還是減小？
分析根據反比例函式的定義可知，是反比例函式，必須且只需且．
解是反比例函式，則
∴即 ．
故當時，表示反比例函式：．，
∴雙曲線兩支分別在
二、四象限內，並且在每個象限內，y隨x的增大而增大．
1、（2010甘肅蘭州）已知點（-1，），（2，），（3，）在反比例函式的影象上. 下列結論中正確的是
a． b． c． d．
2、（2010 嵊州市）如圖,直線與雙曲線交於兩點,則的值為
a.-5b.-10c.5d.10
3、（2010四川眉山）如圖，已知雙曲線經過直角三角形oab斜邊oa的中點d，且與直角邊ab相交於點c．若點a的座標為（，4），則△aoc的面積為
a．12 b．9 c．6 d．4
4、（2010安徽蚌埠二中）已知點（1，3）在函式的影象上。正方形的邊在軸上，點是對角線的中點，函式的影象又經過、兩點，則點的橫座標為
5、（2010內蒙赤峰）已知反比例函式，當－4≤x≤－1時，y的最大值是
6、（2010 廣西欽州市）反比例函式（k >0）的圖象與經過原點的直線l相交於a、b
兩點，已知a點的座標為（2，1），那麼b點的座標為 ．
7、（2010廣西南寧）如圖7所示，點、、在軸上，且,分別過點、、作軸的平行線，與分比例函式的影象分別交於點、、，分別過點、、作軸的平行線，分別與軸交於點、、，連線、、,那麼圖中陰影部分的面積之和為
8、（2023年山西15題）如圖，a是反比例函式圖象上一點，過點a作軸於點b，點p在x軸上，△abp面積為2，則這個反比例函式的解析式為 。
【答案】
9、（2010江蘇鹽城）如圖，a、b是雙曲線上的點， a、b兩點的橫座標
分別是a、2a，線段ab的延長線交x軸於點c，若s△aoc=6．則
k10、（2010 福建德化）如圖，直線與雙曲線（）交於點．將
直線向下平移個6單位後，與雙曲線（）交於點，與軸交於點c，則c點的座標為若，則 ．
11、（2010福建南平）函式y=和y=在第一象限內的影象如圖，點p是y=的影象上一動點，pc⊥x軸於點c，交y=的影象於點b.給出如下結論：①△odb與△oca的面積相等；②pa與pb始終相等；③四邊形paob的面積大小不會發生變化；④ca= ap.
其中所有正確結論的序號是
1．在反比例函式y=的圖象上的乙個點的座標是（ ）
a.（2，1b.（－2，1c.（2d.（,2）
2．對於函式y=，下列判斷正確的是（ ）
a.圖象經過點（－1，3b.圖象在第
二、四象限
反比例函式知識點總結
知識點1 反比例函式的定義 一般地，形如 k為常數，的函式稱為反比例函式，它可以從以下幾個方面來理解 x是自變數，y是x的反比例函式 自變數x的取值範圍是的一切實數，函式值的取值範圍是 比例係數是反比例函式定義的乙個重要組成部分 反比例函式有三種表示式 定值 函式 與 是等價的，所以當y是x的反比例...
中考 反比例函式知識點
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反比例函式知識點總結
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