【易錯點13】利用函式知識求解數列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從1開始）
例13、等差數列的首項，前n項和，當時，。問n為何值時最大?
【易錯點分析】等差數列的前n項和是關於n的二次函式，可將問題轉化為求解關於n的二次函式的最大值，但易忘記此二次函式的定義域為正整數集這個限制條件。
解析：由題意知=此函式是以n為變數的二次函式，因為，當時，故即此二次函式開口向下，故由得當時取得最大值，但由於，故若為偶數，當時，最大。
當為奇數時，當時最大。
【知識點歸類點拔】數列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數集或其子集（從1開始）上的函式，因此在解題過程中要樹立函式思想及觀點應用函式知識解決問題。特別的等差數列的前n項和公式是關於n的二次函式且沒有常數項，反之滿足形如所對應的數列也必然是等差數列的前n項和。此時由知數列中的點是同一直線上，這也是乙個很重要的結論。
此外形如前n項和所對應的數列必為一等比數列的前n項和。
【練13】（2001全國高考題）設是等差數列，是前n項和，且，，則下列結論錯誤的是（）a、b、c、d、和均為的最大值。
答案：c（提示利用二次函式的知識得等差數列前n項和關於n的二次函式的對稱軸再結合單調性解答）
【易錯點14】解答數列問題時沒有結合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。
例14、已知關於的方程和的四個根組成首項為的等差數列，求的值。
【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的項是如何排列的。
解析：不妨設是方程的根，由於兩方程的兩根之和相等故由等差數列的性質知方程的另一根是此等差數列的第四項，而方程的兩根是等差數列的中間兩項，根據等差數列知識易知此等差數列為：故從而=。
【知識點歸類點拔】等差數列和等比數列的性質是數列知識的乙個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對於等差數列，若，則；對於等比數列，若，則；若數列是等比數列，是其前n項的和，，那麼，，成等比數列；若數列是等差數列，是其前n項的和，，那麼，，成等差數列等性質要熟練和靈活應用。
【練14】（2003全國理天津理）已知方程和的四個根組成乙個首項為的等差數列，則=（） a、1 b、c、 d、
答案：c
【易錯點15】用等比數列求和公式求和時，易忽略公比ｑ＝１的情況
例15、數列中，，，數列是公比為（）的等比數列。
（）求使成立的的取值範圍；（）求數列的前項的和．
【易錯點分析】對於等比數列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發研究條件數列是公比為（）的等比數列得到數列奇數項和偶數項成等比數列而找不到解題突破口。使思維受阻。
解：（）∵數列是公比為的等比數列，∴，，由得，即（），解得．
（）由數列是公比為的等比數列，得，這表明數列的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是，又，，∴當時，
，當時， ．
【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數列都是等比數列，其中是解題的關鍵，這種給出數列的形式值得關注。另外，不要以為奇數項、偶數項都成等比數列，且公比相等，就是整個數列成等比數列，解題時要慎重，寫出數列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。
高考往往就是在這裡人為的設計陷阱使考生產生對現而不全的錯誤。
【練15】（2005高考全國卷一第一問）設等比數列的公比為q，前n項和（1）求q的取值範圍。
答案：【易錯點16】在數列求和中對求一等差數列與一等比數列的積構成的數列的前n項和不會採用錯項相減法或解答結果不到位。
例16、．（2003北京理）已知數列是等差數列，且
（1）求數列的通項公式（2）令求數列前項和的公式。
【思維分析】本題根據條件確定數列的通項公式再由數列的通項公式分析可知數列是乙個等差數列和乙個等比數列構成的「差比數列」，可用錯項相減的方法求和。
解析：（1）易求得
（2）由（1）得令（ⅰ）則（ⅱ）用（ⅰ）減去（ⅱ）（注意錯過一位再相減）得當當時
綜上可得：
當當時【知識點歸類點拔】一般情況下對於數列有其中數列和分別為等差數列和等比數列，則其前n項和可通過在原數列的每一項的基礎上都乘上等比數列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數列的求和公式就是這種情況的特例。
【練16】（2005全國卷一理）已知當時，求數列的前n項和
答案：時當時.
【易錯點17】不能根據數列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項後抵消項的規律不清，導致多項或少項。
例17、求…．
【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩餘哪些項規律不清而導致解題失誤。
解：由等差數列的前項和公式得，∴，取，，，…，就分別得到，…，∴
．【知識歸類點拔】「裂項法」有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數（也可三個或更多）相乘，且這兩個數的第乙個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同是要明確消項的規律一般情況下剩餘項是前後對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：
求，方法還是抓通項，即，問題會很容易解決。另外還有一些類似「裂項法」的題目，如：，求其前項和，可通過分母有理化的方法解決。
數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。
【練17】（2005濟南統考）求和＋＋＋…＋．
答案：…＝．
【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹的邏輯思維。
例18、（2023年高考數學江蘇卷，20）設無窮等差數列的前n項和為sn.
(ⅰ)若首項，公差，求滿足的正整數k；
(ⅱ)求所有的無窮等差數列，使得對於一切正整數k都有成立.
【易錯點分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.學生在解第(ⅱ)時極易根據條件「對於一切正整數k都有成立」這句話將k取兩個特殊值確定出等差數列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。
解：（i）當時
由，即又.
（ii）設數列的公差為d，則在中分別取k=1,2,得
由（1）得當
若成立 ,
若故所得數列不符合題意.當
若若.綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：
① : an=0，即0，0，0，…；② : an=1，即1，1，1，…； ③ : an=2n－1，即1，3，5，…，
【知識點歸類點拔】事實上，「條件中使得對於一切正整數k都有成立.」就等價於關於k的方程的解是一切正整數又轉化為關於k的方程的各項係數同時為零，於是本題也可採用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關係。
【練18】（1）（2000全國）已知數列,其中,且數列為等比數列.求常數p
答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據等比中項的性質建立關於p的方程，再說明p值對任意自然數n都成立）
初中數學易錯 易忘 易混的知識點
易錯 平移後的對應關係找不對 15 海淀 設拋物線與軸交於點m，若拋物線與x軸的乙個交點關於直線的對稱點恰好是點m，求的值.16 石景山 拋物線 向下平移個單位後與拋物線 關於軸對稱，且過點，求的函式關係式 易混 點或圖象關於x y軸或其他直線對稱易混 17 東城 已知關於x的方程 m 1 x2 2...
高中數學知識點易錯點梳理函式5抽象函式
c 10 12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力 c 2.抽象函式 抽象函式通常是指沒有給出函式的具體的解析式，只給出了其它一些條件 如函式的定義域 單調性 奇偶性 解析遞推式等 的函式問題.求解抽象函式問題的常用方法是 1 借助模型函式 抽象函式 正比例函式型 指數函式型 對數函式型 冪函...
高中數學知識點易錯點梳理函函式1函式影象及其變換
高中數學知識點易錯點梳理函式1函式影象的對稱性 c 3.函式影象的對稱性 1 乙個函式影象自身的對稱性 性質1 對於函式，若存在常數使得函式定義域內的任意，都有，則函式的影象關於直線對稱.特例 當時，的影象關於直線對稱.性質2 對於函式，若存在常數使得函式定義域內的任意，都有的影象關於點對稱.特例 ...